İTME (İMPULS)
Dinamiğin temel prensibine göre, bir cisme uygulanan kuvvet cisme ivmeli hareket yaptırır.
Kuvvet |
Zaman |
İtme |
N |
S |
N.s |
bağıntısında,
değeri yerine yazılırsa,
bağıntısı elde edilir.
Cismin ?v hız değişimi, uygulanan kuvvetin büyüklüğüne, kuvvetin ?t uygulanma süresine ve cismin -kütlesine bağlıdır.
Bu bağıntıdaki F. ?t çarpımına itme denir, file gösterilir. İtme vektörel bir büyüklüktür. Birimi ise N.s dir.
Bir cisme aynı doğrultuda kuvvetler uygulanarak itmeler verilirse, toplam itme, itmelerin toplamına eşit olduğu görülür.
Toplam itme = ?I = ?F. ?t dir.
Kuvvet - zaman grafiğinin altında kalan alan itmeyi verir. Alan, zaman eksenin altında da var ise, alanların cebirsel toplamı toplam itmeyi verir.
MOMENTUM
Bir cismin kütlesi(m) ile hızının(v) çarpımına momentum denir. Momentum P harfi ile gösterilir.
Momentum, P = m.v bağıntısı ile verilir.
Bir doğru boyunca hareket eden cismin momentumuna lineer momentum denir.
Hız vektörel bir büyüklük olduğundan momentum da vektörel bir büyüklüktür. Kütle sabit olduğundan, bir cismin hız - zaman grafiği ile momentum -zaman grafiği şekil olarak benzerlik gösterir.
Momentum - zaman grafiğinin eğimi net kuvveti verir.
bağıntısında eşitliğin sağ tarafındaki m. ?v çarpımına momentum değişimi denir.
Buna göre, bir cisme verilen itme o cismin momentum değişimine eşittir. Cisme verilen itme ne kadar fazla ise, cismin momentum değişimi de o kadar fazla demektir.
?P = m. ?v
?P = m (v2 - v1) şeklinde yazılabilir.
Örnek
Kütlesi 2 kg olan bir cismin hız - zaman grafiği şekildeki gibidir.
Buna göre, cisme (O - 8) saniye zaman aralığında verilen İtmenin büyüklüğü kaç nevvton. saniye dlr?
A) 10 B)15 C)20 D) 30 E) 45
Çözüm
İtme, momentum değişimine eşittir.
Momentum değişimi ise,
?P = m(vson - vilk) bağıntısı ile hesaplanır.
Hız - zaman grafiğine göre vilk = - 5 m/s , vson = 10 m/s dir.
Değerler yerine yazılırsa,
I=?P = 2(10-(-5))
?P = 2.15
?P = 30 N .s dir.
Cevap D
Örnek
Düz bir yoldaki 2 kg kütleli cisme etki eden net kuvvet - zaman grafiği şekildeki gibidir.
Cisim 2 saniye sonra doğuya doğru 10 m/s Iik hız ile gittiğine göre, 8 saniye sonraki hızı ve hareket yönü için ne söylenebilir?
A) Hareketsiz
B) Doğuya doğru, 5 m/s
C) Batıya doğru, 5 m/s
D) Batıya doğru, 10 m/s
E) Doğuya doğru, 10 m/s
Çözüm
Net kuvvet - zaman grafiğinin alanı, itmeyi ya da momentum değişimini verir.
2 ile 4 saniye arasındaki momentum değişimi + 10 kg.m/s dir. 4 ile 8 saniye arasındaki momentum değişimi ise -20 kg. m/s dir. Dolayısıyla 2 ile 8 saniye arasındaki momentum değişimi -10 kg. m/s dir.
?P = m(vson - vilk)
-10 = 2.(v-10)
-5 = v-10 vson = 5 m/s olur.
Son hız pozitif olduğundan cismin hareket yönü yine doğu yönündedir.
Cevap B
Örnek
Sürtünmesi önemsiz ortamda h yüksekliğinden yatay olarak 15 m/s lik hızla atılan 2 kg kütleli cismin yere çarpıncaya kadarki momentum değişimi 40 kg. m/s dir.
Buna göre,
I. h = 20 m dir.
II. Cismin yere çarpma hızı 25 m/s dir.
III. Cisim yatayda 30 m/s yol almıştır.
yargılarından hangileri doğrudur? (g = 10 m/s2)
A) Yalnız I B) Yalnız II C) I ve II D) I ve III E) I, II ve III
Çözüm
Yatay olarak atılan cismin momentum değişimi düşme hızının değişiminden hesaplanır. Ya da, I = Fnet. ?t bağıntısından hesaplanabilir.
Bağıntıya göre Fnet = mg = 20 N dur. Momentum değişimi itmeye eşit olduğundan I = 40 kg. m/s dir.
Dolayısıyla cismin yere çarpma süresi, 40 = 20. t => t = 2 s olur. I. Cisim h yüksekliğini 2 saniyede serbest düşme hareketine göre alır.
h = 1 / 2 . g. t2 bağıntısına göre,
h = 5 .22
h = 20 m olur. (I doğru)
II. Cismin yere çarpma hızı, yatay hızı ile o andaki düşey hızının vektörel bileşkesine eşittir. Cismin yatay hızı ilk atıldığı andaki hızıdır.
Düşey hızı ise, vy = g. t den
vy = 10.2 = 20 m/s olur. Pisagor bağıntısına göre yere çarpma hızı 25 m/s olur. (II doğru)
III. Cismin yatayda aldığı yol x = v0. t bağıntısı ile hesaplanır. Verilen değerler yerine yazılırsa,
x= 15.2
x = 30 m olur. (III doğru)
Cevap E
Örnek
Yatay ve sürtünmesiz ortamda kütlesi 2 kg olan cisim 10 m/s lik hız ile serbest haldeki esnek yaya çarpıp yaydan 8 m/s lik hız ile ayrılıyor.
Cismin yay İle etkileşim süresi 0,03 saniye olduğuna göre, cisme etki eden ortalama kuvvet kaç newton dur?
A) 900 B) 100 C) 1200 D) 1500 E) 1600
Çözüm
Ortalama kuvvetin bulunabilmesi için İtme = Momentum değişimi eşitliği kullanılmalıdır.
Fnet.?t = m.?v = m(vson-vi|k)
Fort.0,03 = 2(-8-10)
(Cismin dönüş hızı ilk hızına zıt yönde olduğundan (-) alınır.)
F = 2 (-18) 0,03
Fort =-1200N
Sonucun (-) çıkması ortalama kuvvetin cismin ilk hareket yönüne zıt olduğunu gösterir.
Cevap C
Örnek
Sürtünmesi önemsiz ortamda bulunan eşit kütleli X, Y Z cisimleri aynı yatay düzeyden eşit büyüklükteki v hızları ile şekilde gösterilen yönlerde atılıyor.
Cisimlere yere düşünceye kadar geçen sürelerde, etkiyen İtme büyüklükleri IX, IY, IZ olduğuna göre, bunlar arasındaki İlişki nedir?
A) IX = IY = IZ B) IX < IY < IZ
C) IZ < IY < IX D) IY < Ix < Iz
E) IX < IZ < IY
Çözüm
İtme I = Fnet. ?t bağıntısı ile hesaplanır. Atış hareketlerinde net kuvvet cisimlerin ağırlığına eşittir. Cisimler eşit kütleli olduğu için Fnet ler eşit demektir. ?t süresi ise cisimlerin hareket süreleridir.
Şekil incelendiğinde yere en önce X cismi düşerken, sonra Y en son da Z cismi düşer. Çünkü X cismi aşağı düşey atış yaparken, Y cismi düşeyde serbest düşer. Dolayısıyla Y cismi X e göre yere daha geç düşer. Z cismi ise önce yukarı çıkıp sonra serbest düşme hareketi yapacağı için en geç düşer.
Cisimlere etkiyen itmeler ?t süreleri ile doğru orantılı olduğundan X in itmesi en küçük, Z ninki en büyüktür, itmeler arasındaki ilişki Ix < IY < Iz şeklindedir.
Cevap B
MOMENTUMUN KORUNUMU
Bir cisme ya da sisteme dışardan bir kuvvet etki etmedikçe momentumunda bir değişiklik olmaz. İlk durumdaki momentum, son durumdaki momentuma eşit olur.
Fdış = 0 ise,
Fdış. ?t = ?P bağıntısına göre, ?P = 0 olur.
Pson - Pilk = 0
Pson = Pilk
Şekilde aralarında sıkışmış yay bulunan eşit kütleli iki cisim iple bağlanmıştır. İp kesilip cisimler serbest kaldığında her ikisi de eşit sürede eşit yol alır. Yani cisimlerin hızları ve momentumları eşit olur.
Başlangıçta iki cismin momentumu sıfırdır. Cisimler serbest kaldıktan sonra iki cismin toplam momentumu yine sıfır olur.
Pilk = Pson
0 = mv - mv 0 = 0 dır.
Burada, yayın cisimlere uyguladığı kuvvet dışardan uygulanan bir kuvvet değildir. Bir iç kuvvettir. Dolayısıyla momentumun korunumunu etkilemez.
Şekil -1 de arabanın içinden arabaya uygulanan F kuvveti arabayı hareket ettiremez. Yani iç kuvvet momentum değişimini etkilemez. İlk momentum sıfır olduğu için son momentum da sıfır olur. Yani adam elleriyle arabayı ileri, ayaklarıyla da geri itmiş olur. Arabaya etkiyen net kuvvet sıfır olur.
Şekil - II deki gibi adam arabayı dışardan iterse, arabaya net bir kuvvet uygular ve araba bu kuvvetin etkisiyle harekete geçer. Arabaya F. ?t kadar itme verildiğinden arabanın momentumu değişir.
Örnek
Yatay ve sürtünmesi önemsiz düzlemde sabit v hızı ile hareket etmekte olan M kütleli cisim, O noktasına geldiğinde patlama sonucu m1 ve m2 kütleli iki parçaya ayrılıyor.
Parçalar bir süre sonra şekilde verilen kesikli yollan izlediğine göre,
m1 / m2 oranı kaçtır? (Bölmeler eşit aralıklıdır.)
Çözüm
Momentumun korunumuna göre, ilk momentum yatay olduğuna göre, son momentum da yatay olmalıdır. Buna göre, m1 kütleli cismin düşey momentumu, m2 kütleli cismin düşey momentumuna eşit büyüklükte olmalıdır.
Parçaların bir süre sonra aldığı yollar eşit olduğundan v1 = v2 = v olmalıdır.
Şekle göre,
m1 . v1 .sin a = m2 . v2 . sin b
m1 . 2 = m2 . 1
m1 / m2 = 1 / 2
ÇARPIŞMALAR
Çarpışmalar iki kısımda incelenebilir.
A. Esnek Çarpışmalar
B. Esnek Olmayan Çarpışmalar
A. ESNEK ÇARPIŞMALAR
Momentumun korunumunun yanı sıra kinetik enerjininde korunduğu çarpışmalara esnek çarpışmalar denir. Bu tür çarpışmalarda cisimler birbirlerinden ayrı hareket eder. Yani yapışmazlar. Merkezi esnek ve merkezi olmayan esnek çarpışma olarak iki kısımda incelenebilir.
1. Merkezi Esnek Çarpışma
İki cisim çarpışmadan önce ve sonra aynı doğrultu üzerinde kalırlarsa buna merkezi esnek çarpışma denir.
Şekildeki çarpışmada momentumun korunumu yazılırsa,
Burada, terimlerin işareti hız vektörlerinin işaretine göre yazılır. Hareket yönü bilinmeyen hızlar pozitif alınır ve çıkan sonuca göre yorum yapılır.
Bu cisimler için hızların korunumuna göre, birinci cismin çarpışmadan önceki ve sonraki hızlarının vektörel toplamı, ikinci cismin çarpışmadan önceki ve sonraki hızlarının vektörel toplamına eşittir.
Şekilde durmakta olan m kütleli bir cisme yine m kütleli bir cisim 2 m/s hızla merkezi ve esnek olarak çarpıyor.
Momentumun korunumuna göre,
m.2 + 0 = m. v1 + mv2
2 = v1 + v2..........(1)
Hızların korunumuna göre,
2 + v1 = 0 + v2..........(2)
(1) ve (2) denklemleri çözüldüğünde, v1 = 0, v2 = 2 m/s olur.
Sonuç
Merkezi esnek çarpışmalarda, kütleler eşit ise, cisimler birbirlerinin hızlarını büyüklük ve yön olarak değiştirirler.
Not
Merkezi esnek çarpışan cisimlerin çarpışmadan önceki momentumları eşit büyüklükte ve zıt yönlü ise, cisimler hızlarının büyüklüğünü koruyarak ters döner.
Örnek
Yatay ve sürtünmesi önemsiz zeminde 12 m/s lik sabit hızla hareket eden 2 kg kütleli cisim durmakta olan 1 kg kütleli cisme tam esnek merkezi olarak çarpıyor.
Çarpışma sonucunda m2 kütleli cismin hızı v2, m1 kütleli cismin hızı v1 olduğuna göre, v1 /v2 oranı kaçtır?
Çözüm
Momentum korunumundan,
Pilk = Pson
m1 . v1 + 0 = m1. v1‘ + m2. v2 ‘
2.12 = 2. v, + 1 .v2
24 = 2v1+ v2 ........(1)
Hızların korunumundan,
12 + v1 = 0 + v2
12 + v1 = v2 ........(2)
2. denklemdeki v2 değeri 1. denklemde yerine yazılırsa, v1 = 4 m/s olur. v1 değeri 2. denklemde yerine yazılırsa, v2 =16 m/s olur.
Hızların oranı ise, v1 /v2 = 4/16 =1/4 olur.
Örnek
Güneş etrafındaki eliptik yörüngede dolanan bir gezegen İçin,
I. Momentumu KLM arasında artar.
II. K den M ye gelme süresi M den K ye gelme süresinden küçüktür.
III. Gezegene etki eden çekim kuvveti L de maksimum, N de minimumdur.
yargılarından hangileri doğrudur?
A) Yalnız I B) Yalnız II C) I ve II D) II ve III E) I, II ve III
Çözüm
I. Momentum P = m . v bağıntısı ile hesaplanır. Gezegen Güneşe yaklaştıkça hızlanır. Uzaklaştıkça yavaşlar. Dolayısıyla gezegen K den L ye gelirken momentumu artar. Lden M ye gelirken momentumu azalır. (I yanlış)
II. Gezegen KLM yolunu izleyip M ye gelme süresi, yarı çap vektörünün taradığı alana göre değişir. Şekle göre alanlar arasındaki ilişki S1 < S2 olduğundan gezegenin MNK yolunu izleyip K ye varma süresi daha fazladır. (II doğru)
III. Çekim kuvveti gezegen ile Güneş arasındaki uzaklığın karesi ile ters orantılıdır. Gezegen L noktasında Güneşe en yakın, N noktasında en uzak olduğu için, çekim kuvveti L de maksimum, N de minimum büyüklüktedir. (III doğru) Cevap D
2. Merkezi Olmayan Esnek Çarpışma
m1 kütleli bir cisim v1 hızıyla şekildeki gibi durmakta olan m2 kütleli cisme merkezi olmayacak biçimde esnek olarak çarpıyor.
Cisimler çarpışmadan sonra geliş doğrultusu ile 6 ve a açısı yapacak biçimde saçılıyor.
Çarpışmadan önceki ve sonraki momentumlar eşittir. Şekilde de görüldüğü gibi çarpışmadan sonraki P^ ve P2momentum vektörlerinin toplamı Pjlk e eşittir.
Pilk=Pson
P1=P1’+P2’
m1.v1 = m1.v1’.cos 9 + m2v2’.cos a
y doğrultusunda ilk momentum sıfır olduğu için çarpışmadan sonraki y doğrultusundaki momentum da sıfır olmalıdır.
Bunun sağlanması için,
P1y = P2y olmalıdır.
m1.v1’.sin 9 = m2v2’.sin a dır.
B. ESNEK OLMAYAN ÇARPIŞMALAR
Çarpışma sırasında kinetik enerjinin korunmadığı çarpışmalara esnek olmayan çarpışmalar denir. Bu tür çarpışmalarda cisimler genellikle birbirlerine yapışarak hareket eder. Esnek olmayan çarpışma problemleri yalnız momentumun korumunundan faydalanılarak çözülür. Bu çarpışmada esnek çarpışmada olduğu gibi merkezi ve merkezi olmayan şeklinde iki kısımda incelenir.
1. Tek Boyutta Esnek Olmayan Çarpışmalar
Şekildeki gibi m1 ve m2 kütleli cisimler v1 ve v2 hızları ile çarpışıp yapıştığında ortak hız ve hareket yönü momentumun korunumundan bulunur.
Pilk=Pson
P1+ P2= Port
m1v1 - m2v2 = (m1 + m2).vort
Bu denkleme göre, eğer cisimler çarpışmadan önce momentumlar eşit büyüklükte ise, çarpıştıktan sonra dururlar. Yani ilk momentum sıfır olduğu için son momentumda sıfır olur.
* m2v2 < m1v1 ise, ortak kütle (+) yönde hareket eder.
* m1v1 < m2v2 ise, ortak kütle (-) yönde hareket eder.
2. İki Boyutta Esnek Olmayan Çarpışma
m1 ve m2 kütleli cisimler v1 ve v2 hızları ile şekildeki gibi O noktasında çarpışarak yapışıyor. Bu durumda momentumun korunumu hem x ekseni için, hem de y ekseni için yazılabilir.
x eksenindeki momentumun korunumuna göre,
Pilk=Pson
P1 = Port x
m1v1 = (m1 + m2).vort.cos 9 eşitliği yazılır.
y eksenindeki momentumun korunumuna göre,
Pilk=Pson
P2= Port. y
m2.v2 = (m1 + m2).vort.sin 9 eşitliği yazılır.
Örnek
Yatay ve sürtünmesi önemsiz zeminde sabit v hızı ile hareket etmekte olan M kütleli platforma m kütleli cisim şekildeki gibi 5v hızı ile çarpıp yapışıyor.
Çarpışma sonu platformun hızı 2v olduğuna göre, M/m oranı kaçtır?
(cos 60° = 0,5)
A) 4 B)2 C)1 D) 1/2 E) 2/3
Çözüm
Momentum korunacağından dolayı, ilk momentumların vektörel toplamı, son momentumun vektörel toplamına eşittir.
Platformun son hızına vson denilirse,
Pilk=Pson
M .v + m .5v. cos 60° = (M + m). v son
M. v + m.5v / 2 = (M + m).2v
M + 5m/2 = 2M + 2m
M/m = 1/2
Cevap D
Örnek
Yatay ve sürtünmesi önemsiz zemindeki kütleleri ve hızları verilen cisimler birbirine çarpışıp yapışıyor.
Buna göre, çarpışma sonrası, yapışık cismin hareket yönü ve hızının büyüklüğü nedir?
A) +x yönünde ; 1 m/s
B) +x yönünde ; 1,2 m/s
C) - x yönünde ; 1 m/s
D) - x yönünde ; 1,2 m/s
E) Hareketsiz
Çözüm
Çarpışmalarda momentum korunduğu için, ilk momentumlar toplamı, son mo-mentuma eşit olmalıdır. Buna göre, çarpışma sonrası hıza vson denilirse,
Pilk=Pson
2.6 - 3.2 =(2 + 3).vson
6=5.vson
vson = 1,2 m/s olur.
Hızın pozitif olması, çarpışma sonrası yapışık cismin +x yönünde gittiğini gösterir.
Cevap B
Örnek
Yatay ve sürtünmesi önemsiz düzlemde sabit 4v hızı ile hareket eden 2m kütleli cisim O noktasında durmakta olan m kütleli cisme çarpıyor.
m kütleli cisim şekildeki yönde 5v hızı ile gittiğine göre, 2m kütleli cismin hızı kaç v olur? (sin 37° = 0,6 ; cos 37° = 0,8)
A) | B)2 C)| D) 3 E) L
Çözüm
Çarpışmalarda momentum korunduğundan, ilk momentumun yönü ve büyüklüğü ne ise son momentumunda yönü ve büyüklüğü o olmalıdır.
Şekle göre ilk momentum Pilk = 2m . 4v = 8 mv ve sağa doğrudur. Son momentumunda sağa doğru 8 mv büyüklüğünde olabilmesi için m kütleli cismin momentumu ile 2m kütleli cismin momentumunun vektörel toplamının büyüklüğü 8 mv olmalıdır.
Bunun için, m kütleli cismin momentumunun bileşenleri alınırsa, m kütleli cismin 3mv lik momentumu 2m kütleli cismin momentumunun bileşenine eşit olmalıdır. Aynı şekilde m kütleli cismin 4mv lik momentumu ile 2m kütleli cismin yatay momentumunun toplamının 8 mv olması için, 2m kütleli cismin yatay momentumu 4 mv olmalıdır.
Buradan 2m kütleli cismin momentumu pisagordan 5 mv olur. Bu değer 2m. v' momentumuna eşittir.
2mv' = 5mv => v'= 5v/2 olur.
Cevap C
Örnek
Şekildeki 2m kütleli K cismi v1 hızı ile +x yönünde, m kütleli L cismi de v2 hızı ile +y yönünde gidiyorlar ve O noktasında çarpışarak birbirine yapışıyorlar.
Yapışık cismin hızı x ekseni İle 37° İlk açı yaptığına göre, v1 /v2 oranı kaçtır?
(sin 37° = 0,6 ; cos37° = 0,8)
(1993 - ÖYS)
Çözüm
Çarpışmada momentum korunacağından, çarpışmadan önceki P1 ve P2 momentumlarının toplamı, çarpışmadan sonraki toplam momentuma eşittir.
Şekilden;
tan 37° = m v2 / 2mv1 = 3 /4
v1 / v2= 2/3 |
