MOMENT

Bir kuvvet, bir cisme uygulandığında cisim bir eksen etrafında dönebilir. Kuvvetin bu döndürücü etkisine moment denir. Momentin büyüklüğü, yani kuvvetin döndürücü etkisinin büyüklüğü; kuvvet ile kuvvetin dönme eksenine olan dik uzaklığının çarpımına eşittir.

Moment = Kuvvet x Dik uzaklık M = F.d

Momentin birimi,  N . m dir.

Moment vektörel bir büyüklüktür.

 M vektörü, d ile F vektörlerinin bulunduğu düzleme diktir. Moment değerleri hesaplanırken d uzaklığına dikkat edilmelidir, d uzaklığı kuvvetin etkime doğrultusuna, dönme noktasından ya da dönme ekseninden çizilen dik uzaklıktır.

Momentin Özellikleri

Herhangi bir eksen etrafında dönebilen cisimlere kuvvet uygulanmasına rağmen, bazı kuvvetler döndürücü etki yapmazlar. Bunlar şekilde de görüldüğü gibi dönme noktasına uygulanmış ya da uzantısı dönme noktasından geçen kuvvetlerdir. Eğer sorularda bu gibi kuvvetler verilirse, bu kuvvetler döndürücü etki yapmadıklarından dolayı işleme katılmazlar.

Kuvvet, çubuğun doğrultusu ile a açısı yapacak şekilde uygulanmış İse moment, iki yolla bulunur:

1.  Kuvvetin, kuvvet koluna dik bileşeni bulunarak moment hesaplanır. Kuvvetin O noktasına göre momenti,
M = Fy. d   =>   M = F. d. sin a dır.

Fx bileşeninin doğrultusu dönme ekseninden geçtiği için momenti yoktur.

2. Kuvvet ile, kuvvetin etkime doğrultusuna dönme noktasından çizilen dik uzaklığın çarpımı İle bulunur. Şekle göre, F kuvvetinin O noktasına göre momenti, M = F . d' olur. Ayrıca, d' = d . sina dır.

Örnek

Sayfa düzlemine dik ve O noktası etrafında dönebilen şekildeki çubuğun X, Y Z noktasına F, 2F ve 2F büyüklüğünde kuvvetler uygulanmıştır.
Bu kuvvetlerin O noktasına göre momentleri Mx, MY, Mz ise, bunlar arasındaki İlişki nedir? (Bölmeler eşit aralıklıdır.)

Çözüm

Çubuğa uygulanan kuvvetlerin momentlerinin olup olmadığını anlamak için uzantıları alınır. Uzantıları dönme noktasından geçen kuvvetlerin momentleri yani döndürücü etkileri yoktur.
Dikkat edilirse, Y noktasına uygulanan 2F kuvvetinin uzantısı, dönme noktası olan O noktasından geçiyor. O halde momenti yoktur.
MY = 2F.O = 0 dır.

X noktasına uygulanan F kuvvetinin momenti, dik uzaklığı 2 birimdir.
2 birim = 2d denilirse, Mx = F.2d = 2F.d olur.

Benzer şekilde Z noktasına uygulanan 2F kuvvetinin momenti,
Mz = 2F.2d =4F.d olur.

Buna göre, momentler arasında Mz > Mx > MY ilişkisi vardır.

Bileşke Moment
Bir düzeneğe iki veya daha fazla kuvvet değişik biçimlerde uygulanabilir. Böyle bir durumda düzeneğin dönme yönü ve kuvvetlerin döndürücü etkilerinin büyüklüğü çok önemlidir.

Bu şekilde, bir düzeneğe uygulanan birden fazla kuvvetin bir noktaya göre momentlerinin döndürme yönlerine göre toplamına bileşke moment denir. Bileşke moment, bir düzeneğin dönüp dönmediğini, dönüyor ise dönme yönünü ve momentinin büyüklüğünü bulmaya yarar. Bileşke moment ?M ile gösterilir. Buradaki ? işareti toplam işaretidir.

Bileşke moment hesaplanırken aşağıdaki İşlemler yapılır.
1. Her bir kuvvetin döndürme yönleri tespit edilir.
2. Eğik kuvvetlerin bazen bileşenlerine göre, bazen de dik uzaklıkları alınarak doğrudan momenti hesaplanır.
3. En son, her bir kuvvetin dönme eksenine göre momentleri, döndürme yönlerine göre toplanır.

Örneğin, her bir bölmesi d kadar olan ve sayfa düzlemine dik O noktasından geçen eksen etrafında serbestçe dönebilen çubuğa F1, F2 ve F3 büyüklüğünde kuvvetler uygulansın. Bu kuvvetlerin O noktasına göre toplam momentleri şu şekilde bulunur.

Önce kuvvetlerin, soruda verilen yönlere göre döndürme yönleri bulunur. Sonra her bir kuvvetin momentleri döndürme yönlerinin işaretlerine göre toplanır. Çıkan sonuç ise yorumlanır.

Şekilde F1kuvveti çubuğu (-) kabul edilen yönde, F2 ve F3 kuvvetleri ise (+) yönde döndürücü etki yapar. Bu dönme yönlerine göre toplam moment,
?M = - F1 .2d + F2.3d + F3.5d olur.

Bu işlemin sonucu üç değişik biçimde olabilir.

I. Toplam momentin işareti (+) ise, çubuk seçilen (+) yönde döner. Bu durumda F2 ile F3 ün momentleri toplamı F1 in momentinden büyük demektir.

II. Toplam momentin işareti (-) ise, çubuk seçilen (-) yönde döner. Bu durumda ise F1 in momenti F2 ile F3 ün momentleri toplamından büyük demektir.

III. Toplam moment sıfır ise, çubuk dönmez dengede kalır. Bu durumda ise F, in momenti F2 ile F3 ün momentleri toplamına eşit demektir.
O halde, denge hali için şu genelleme yapılabilir. Aynı yönlü döndüren kuvvetlerin momentleri toplamı, zıt yönlü döndüren kuvvetlerin momentleri toplamına büyüklükçe eşittir.

Örneğimiz için bu eşitlik, F1 . 2d = F2 . 3d + F3 . 5d olur. Buradan bilinmeyen nicelik bulunabilir.

Örnek

Sayfa düzlemine dik O noktası etrafında serbestçe dönebilen levhanın X noktasına F, Y ve Z noktalarına ise 2F büyüklüğündeki kuvvetler şekildeki gibi uygulanıyor.
Buna göre, levhanın dönme yönü ve momenti nedir?

Çözüm

Levhanın dönme yönü ve momentinin bulunabilmesi için bileşke momentin hesaplanması gerekir. Bunun için ise her bir kuvvetin levhayı döndürme yönü tespit edilerek, momentleri bu yönlerin işaretlerine göre toplanır.

Şekil incelendiğinde Y ve Z noktalarına uygulanan kuvvetler levhayı (-) yönde, X noktasına uygulanan kuvvet ise levhayı (+) yönde döndürür. Ayrıca bu kuvvetlerin dik uzaklıkları da şekilde verildiği gibi, Y deki kuvvet için r, Z deki kuvvet için 2r, X teki kuvvet için ise r dir.

Buna göre, önce Y, sonra Z, sonra da X teki kuvvetlerin momentleri toplanırsa, toplam moment,
?M=-2F.r+ -2F.2r + F.r
?M = -6F.r+ F.r = -5F.r olur.

Sonuç (-) işaretli olduğundan, levhanın (-) yönde ve 5F.r lik bir momentle dönmesi demektir.

Denge Şartları
Bir cismin dengede kalabilmesi için aşağıdaki iki şartın sağlanması gerekir:

Dengenin 1. Şartı
Cismin üzerine etki eden bütün kuvvetlerin bileşkesi sıfır olmalıdır.
?F = 0   dır.
Kuvvetlerin bileşkesinin sıfır olması demek, her eksen üzerindeki bileşenlerin vektörel toplamlarının ayrı ayrı sıfıra eşit olması demektir.
?FX = 0 ; ?Fy = 0    dır.

Bu şartlar sağlandığında; cisim, ya duruyor ya da sabit hızla gidiyor demektir. Bir cismin dengede kalabilmesi için bu şart gereklidir, fakat yeterli değildir.

Dengenin 2. Şartı
Dengenin 1. şartının sağlanması cismin her zaman dengede kalması anlamına gelmez. Örneğin kuvvet çiftinde ?F = 0 dır. Fakat toplam moment sıfır olmadığı için cisim dönme hareketi yapar.
Cismin dönmeden dengede kalabilmesi için, cisim üzerine etki eden kuvvetlerin dönme noktasına ya da dönme eksenine göre toplam momentinin sıfır olması gerekir.
?M = 0    olmalıdır.

Sorularda düzeneğin dengede olduğu veriliyorsa, bu iki şart sağlanıyor demektir. Bu şartlara göre denklemler yazılarak sorular çözülür.

Toplam momentin sıfır olması demek, herhangi bir yönde döndürmek isteyen kuvvetlerin momentleri toplamı, ters yönde döndürmek isteyen kuvvetlerin momentleri toplamına eşit olması demektir. Cismin statik olarak dengede kalabilmesi için yukarıda belirtilen iki şartın sağlanması gerekir.

Kuvvet Çifti

O noktası etrafında dönebilen türdeş çubuğun iki ucuna şekildeki gibi eşit büyüklükte kuvvet uygulanırsa, her iki kuvvetin de döndürme yönü aynı olduğu için çubuk 2Fd kadarlık bir momentle döner. Bu düzeneğe kuvvet çifti denir. Musluk uçarken, arabanın direksiyonunu çevirirken vb. olaylar da kuvvet çifti uygulanır.

PARALEL KUVVETLER
Bir cismin farklı noktalarına paralel doğrultuda etkiyen kuvvetlere paralel kuvvetler denir. Paralel kuvvetler aynı yönlü ve zıt yönlü olmak üzere ikiye ayrılır.

1. Aynı Yönlü Paralel Kuvvetlerin Bileşkesi

Ağırlığı ihmal edilen, KL çubuğunun iki ucundan F1 ve F2 büyüklüğünde kuvvetler uygulanırsa, bu kuvvetlerin bileşkesinin yeri denge noktasıdır. Denge noktasına göre toplam momentin sıfır olması için bileşke kuvvetin yerinin, büyük kuvvete yakın ve kuvvetler arasında bir nokta olması gerekir. Bileşkenin büyüklüğü, kuvvetler aynı yönlü olduğundan, F1 + F2dir.
Bileşke kuvvetin uygulama noktasına göre toplam moment sıfırdır. Ya da bu noktaya göre kuvvetlerin momentleri eşit değerdedir. F1. a = F2. b buradan bileşkenin yeri bulunur.

2. Zıt Yönlü Paralel Kuvvetlerin Bileşkesi

Ağırlığı ihmal edilen çubuğun K ve L noktalarına şekildeki gibi birbirine paralel, zıt yönlü F1 ile F2 kuvvetleri uygulanırsa, toplam momentin sıfır olması için bileşke kuvvetin yerinin büyük kuvvete yakın ve çubuğun KL kısmının dışında bir noktada olması gerekir.
Bileşke kuvvetin büyüklüğü, kuvvetler zıt yönlü olduğundan; (F1 > F2 ise) R = F1 - F2   dir.
Bileşke kuvvetin bulunduğu nokta aynı zamanda denge noktası da olduğundan bu noktaya göre toplam moment sıfırdır. Ya da bu noktaya göre kuvvetlerin momentleri eşittir.
F1 .a = F2 . b   buradan bileşke kuvvetin yeri bulunur.

Şekildeki 3F ve 2F büyüklüğündeki kuvvetlerin bileşkesinin uygulama noktasını bulmak için moment eşitliğinin sağlanıp sağlanmadığına bakılabilir. Bileşke kuvvet K de olabilir mi?
3F nin K ye göre momentinin büyüklüğü, 2F nin K ye göre momentinin büyüklüğünden küçüktür. Dolayısıyla K olamaz. O halde K - L arasındadır denilir.

Not
Türdeş çubuğun ağırlığı verilirse; ağırlık çubuğun orta noktasından (ağırlık merkezi) aşağı doğru yönelmiş bir kuvvet olarak gösterilir.

İki ya da daha fazla paralel kuvvetlerin bileşkesini bulmak için (sıra gözetmeksizin) kuvvetlerin ikişer ikişer bileşkesi alınır, tek bileşke kuvvete indirgenmek şartı ile düzeneğin bileşkesi ve uygulama (denge) noktası bulunur.

Şekilde, ağırlığı P olan düzgün türdeş eşit bölmeli çubuğun uçlarına 3P ve P ağırlıklı cisimler asılıyor. Bileşkenin yerini bulmak için çubuğun orta noktasından gösterilen ağırlık kuvveti ile P ağırlıklı cismin bileşkesi M de ve 2P olur. 3P ile 2P ağırlıklı kuvvetlerin bileşkesinin uygulama noktası ise K - L arasında olur.

Örnek

Kütlesi m olan eşit bölmeli, düzgün, türdeş bir çubuğa 2m ve m kütleli cisimler şekildeki gibi asılıyor.
Bu çubuk hangi noktasından asılıp serbest bırakılırsa yatay dengede kalır?
A)  K noktasından                        B)  KL uzunluğunun orta noktasından
C) L noktasından                        D) LM uzunluğunun orta noktasından
E)  M noktasından
(2004 - ÖSS)

Çözüm

Düzgün ve türdeş çubuğun kütlesi m olarak verildiğine göre, ağırlık kuvveti orta noktadan gösterilir. Paralel üç kuvvetin bileşkesinin uygulama noktasından asılan çubuk yatay olarak dengede kalır. Üç kuvvetin bileşkesi ise L noktasındadır.
Cevap C
 
Örnek

Ağırlığı G kadar olan düzgün, türdeş ve eşit bölmeli KL çubuğu ağırlığı Gx olan X cismi ile şekildeki gibi dengelenmiştir.
Esnemeyen S1 ve S2 ip gerilmeleri eşit ve T olduğuna göre, G, Gx ve T arasındaki İlişki nedir?
A) G = Gx = T                      B) G < Gx < T                     C) T < G < Gx
D) Gx < T < G                   E) T < G = Gx

Çözüm

KL çubuğu yatay olarak dengede olduğuna göre, çubuğa etki eden kuvvetlerin bileşkesi sıfır demektir.
İp gerilmeleri eşit ve T olduğundan dengenin sağlandığı nokta, ipler arası uzaklığın tam ortası olan O noktasıdır. Bu noktaya göre toplam moment sıfır olacağı için G ile Gx kuvvetlerinin bu noktaya göre momentleri eşittir.
Dolayısıyla G = Gx tir.
Kuvvetlerin dengesine göre, T + T = G + Gx olacağından
2T = 2G   =>   T = G dir.
Sonuç olarak, G, Gx ve T arasındaki ilişki G = Gx = T şeklindedir.
Cevap A