W W W . O S S F I Z I K . C O M = > ÖSS Fizik hazırlığında 1 numara

Düzgün dairesel hareket yapan bir cismin düşeyde ve yataydaki izdüşüm hareketi basit harmonik harekettir. Ya da denge konumundan eşit uzaklıktaki iki nokta arasında, değişken ivmeli periyodik harekete basit harmonik hareket denir.

Uzanım

Basit harmonik hareket yapan bir cismin herhangi bir anda denge konumuna olan uzaklığıdır. Düzgün dairesel hareket yapan şekildeki cismin x ve y eksenlerindeki uzanım değerleri, R yarı çapı cinsinden,
x = R.cos 9 y = R.sin 9 değerlerine eşittir.

x ekseni üzerindeki harmonik hareket incelendiğinde, denge konumunda uzanım sıfırdır (x = 0). Denge konumundan uzaklaştıkça uzanım artmakta, denge konumuna yaklaştıkça uzanım azalmaktadır.

Genlik

Uzanımın en büyük değerine genlik denir. KL noktalan arasında basit harmonik hareket yapan cismin genliği R dir.

Periyot

Cismin tam bir salınım hareketi yapması için geçen süreye periyot denir ve T ile gösterilir. Düzgün dairesel hareketin iz düşüm hareketi basit harmonik hareket olduğu belirtilmişti.

Buna göre, K den L ye gelip yarım tur yapan cisim için periyodun yansı kadar süre geçmiştir. O halde basit harmonik hareket yapan cismin K' den U noktasına varması için T/2 kadar süre geçer. Dönüşü de T/2 kadardır.

O halde K' den harekete geçen cisim L1 noktasına varıp tekrar K1 noktasına geldiğinde bir periyotluk süre geçmiştir. Hareket O noktasına göre simetrik olduğu için, K'O' arasını T/4 sürede, OV arasını da yine T/4 sürede alır.

Dairesel hareketteki yay uzunluklarına dikkat ederek iz düşümü alındığında, cisim O'N' ya da P'O' arasını T/12 sürede alır. Benzer yoldan K'P' ya da N'L' aralıklarını T/6 sürede alır.

Frekans

1 saniyedeki salınım sayısına frekans denir, f ile gösterilir. Düzgün dairesel harekette olduğu gibi, basit harmonik harekette de periyot ile frekans arasında, T. f = 1 eşitliği vardır.

Basit Harmonik Harekette Kuvvet

Düzgün dairesel hareket yapan cisme etki eden merkezcil kuvvetin iz düşümü basit harmonik hareket yapan cisme etki eden kuvvettir.
Şekilde de görüldüğü gibi x ekseni doğrultusundaki harmonik harekette cisme etki eden kuvvet K ve L noktalarında maksimum değere sahiptir. O denge konumundan geçerken cisme etki eden kuvvet sıfırdır.

Basit harmonik hareket yapan cisme etki eden kuvvet her an denge konumuna yöneliktir.

idi.

Basit harmonik harekette R yarı çapı yerine x uzanım değeri geçerli olduğundan, basit harmonik hareket yapan cisme etki eden kuvvet,

tir. Ya da

tir.

Bu bağıntıya göre kuvvet ile uzanım doğru orantılıdır (F ~ x). Kuvvet ile uzanım zıt yönlü olduğu için bağıntının önüne (-) işareti konulmuştur. Uzanımın maksimum olduğu yerde kuvvette maksimum, uzanımın sıfır olduğu denge konumunda kuvvette sıfırdır.

Kuvvet - uzanım grafiği şekildeki gibi olur.

İvme

Kuvvet,

Dinamiğin temel prensibi F = m. a olduğundan, basit harmonik hareket yapan cismin ivmesi,

bağıntısı ile bulunur.

Ayrıca ivme, a = - w2 . x bağıntısı ile de bulunur.
İvme de x uzanımı ile doğru orantılıdır. Kuvvet için yapılan yorumlar ivme içinde aynen geçerlidir.

Hız

Düzgün dairesel harekette çizgisel hız vektörünün iz düşümü basit harmonik hareket yapan cismin hızını verir.

Şekilde de görüldüğü gibi uç noktalar olan K ve L noktalarında hız sıfır, denge konumunda ise hız maksimum değere sahiptir. Uç noktalara doğru hız azalırken, denge konumuna doğru hız artar. Genliği R olan cismin denge
konumundan geçerken sahip olduğu hız, v =2. pi. r den bulunur.

Genliği R, uzanımı x olan bir cismin o andaki hızının büyüklüğü,

bağıntısı ile bulunur.

K noktasından L noktasına giden cismin hızının uzanıma göre değişim grafiği şekildeki gibi olur.

Örnek

Yatay ve sürtünmesi önemsiz zeminde basit harmonik hareket yapan cismin K noktasındaki ivmesi +2 cm/s2, L noktasındaki ivmesi - 6 cm/s2 dir.
Buna göre, cismin periyodu kaç saniyedir? (pi = 3 alınacak)

A) 6 B) 8 C) 9 D) 10 E) 12

Çözüm

Cismin K ve L noktalarındaki ivmesine göre, denge noktası K ile L noktaları arasındadır. Bu noktaya O noktası denilirse, O noktasının K ye uzaklığı x ise L ye uzaklığı (32 - x) olur.
Cismin ivmesi a = 4 pi.2.x / T2 bağıntısı ile hesaplanır.
K deki ivme için, 2 = 4 pi.2.x / T2 dir.
L deki ivme için, 6 = 4 pi.2.(32-x) / T2
Bunlar taraf tarafa oranlanırsa,
x= 8 cm olur.
Bu değer K deki ivmede yerine yazılırsa,
T = 12 saniye olur.
Cevap E

YAYLI SARKAÇ

Esnek bir yayın ucuna bir cisim aşılırsa, cismin ağırlığından dolayı yay uzar. Yayın ucuna farklı ağırlıklı cisimler asıldığında yayın farklı miktarda uzadığı görülmektedir. Cismin ağırlığı arttıkça yaydaki uzama miktarı da artmaktadır.

Yayın ucuna sırasıyla, G1, G2, G3 ağırlıklı cisimler asıldığında yaydaki uzama miktarı x1,x2, x3 oluyor. Bulunan değerlerin kuvvet - uzama grafiği çizildiğinde, kuvvet ile uzamanın doğru orantılı olduğu görülmektedir.

Bu grafiğin eğimi k yay sabitine eşittir. Esnek bir yayın x kadar sıkıştırılması ya da x kadar uzatılması halinde yaydaki geri çağırıcı kuvvet,

olur.

Buradaki (-) işareti, uzama ya da sıkışma ile yay kuvvetinin zıt yönlü olduğunu gösterir.

Esnek bir yayın ucuna m kütleli bir cisim asılıp dengeye geldikten sonra x kadar aşağı çekilir ya da x kadar yukarı sıkıştırılıp serbest bırakılırsa, cisim basit harmonik hareket yapar. Şekilde de görüldüğü gibi, cisim denge konumundan eşit uzaklıkta aşağı ve yukarı salınım yapar.

Cismin yaptığı basit harmonik hareketin periyodunun büyüklüğü,

bağıntısı ile bulunur.

Bu bağıntıya göre; cismin periyodu, kütlesine ve yay sabitine bağlıdır. Ortamın çekim ivmesine veya sarkacın çalışma düzlemine bağlı değildir. Yatay düzlemdeki ya da eğik düzlemdeki yaylı sarkacın periyodu da aynı bağıntı ile bulunur.
Ayrıca periyot genliğe de bağlı değildir. Şekilde her iki sarkacın periyodu eşittir.

Yayların Seri ve Paralel Bağlanması

Yay sabitleri k, ve k2 olan yaylar Şekil -1 deki gibi uç uca seri olarak bağlanmış ise, eşdeğer yay sabiti,

bağıntısından bulunur.

Özdeş iki yay seri olarak bağlanırsa eş değer yay sabiti k/2 olur.
Yay sabiti k1 ve k2 olan iki yay Şekil - II deki gibi paralel olarak bağlanmış
ise, eşdeğer yay sabiti,

olur.

Örnek

Yatay ve sürtünmesi önemsiz zemindeki P ile L noktaları arasında basit harmonik hareket yapan cismin P den O ya gelme süresi t dir.

t nin daha büyük olması cismin,
I. k yay sabiti büyük yay kullanılmalı
II. Kütlesi büyük olan cisim kullanılmalı
III. Cismin genliği artırılmalı

işlemlerinden hangileri yapılmalıdır? (PO = OL)

A) Yalnız I B) Yalnız II C) Yalnız III D) I ve II E) II ve III

Çözüm
Yay sarkacında cismin periyodu bağıntısı ile hesaplanır. Cisim
P den O ya T/4 sürede gelir. Bu süreye t denildiğine göre, T = 4t olur. t nin büyük olması demek (T) periyodun büyük olması demektir.
Formüle göre T yalnız m ve k niceliklerine bağlı olarak değişir.
I. Aynı şartlarda yay sabiti büyük yay kullanılırsa T azalır. (I yanlış)
II. Kütlesi büyük cisim kullanılırsa T artar. (II doğru)
III. Periyot genliğin değişiminden, artmasından ya da azalmasından etkilenmez. PO arası ya da OL arası artırılırsa cisim yine P den O ya t sürede varır. (III yanlış)
Cevap B

Önemli Not
Bir yayın k yay sabiti iki niceliğe bağlıdır.
1. Yayın cinsine bağlıdır. Sert yayların yay sabiti büyük, yumuşak yayların yay sabiti daha küçüktür.
2. Yayın uzunluğuna bağlıdır. Bir yay iki eşit parçaya bölünürse, her bir parçanın yay sabiti iki katına çıkar.

Örnek

Özdeş yaylardan bir tanesinin ucuna, Şekil -1 deki gibi bir m kütleli cisim bağlanırken, 2m kütleli cisimde Şekil - II deki gibi uç uca seri bağlanmış özdeş iki yayın ucuna ekleniyor. Her ikisi de L seviyesine kadar çekilip aynı anda bırakılıyor.
m kütleli cisim bundan sonra ilk defa L seviyesinden geçerken 2m kütleli cisim nerede olur? (O düzeyi her iki cismin denge düzeyidir)

A) O noktasında B) OK arasında C) K noktasında
D) OL arasında E) L noktasında

Çözüm
Şekil - I deki sarkacın periyodu, dir.
Şekil - II deki sarkacın periyodu seri bağlı özdeş iki yayın yay sabiti k/2 olacağından,
T2= kök2 T olur.
1. sarkaç bir tam salınım yapıp L seviyesine geldiğinde T1 kadar süre geçer bu süre 2. sarkacın periyodunun yarısına eşit olduğundan 2m kütleli cisim L den K ye gider.
Cevap C

BASİT SARKAÇ

Ağırlığı ihmal edilen t uzunluğundaki ipin ucuna asılan m kütleli cisimden oluşan düzeneğe basit sarkaç denir. Basit sarkaç denge konumundan biraz ayrılıp bırakılırsa, bir salınım hareketi yapar.

Denge konumundan a açısı kadar ayrılıp serbest bırakılan cisim K noktasında iken ağırlık kuvvetinin ipe dik bileşeni F, diğer bileşeni de ipteki gerilme kuvvetine eşittir.
Taralı üçgenlerden, F = mg.x/l olur.
Bu değer, F = m(4pi2/T2)x değerine eşit olduğundan, hareketin periyodu,

olarak bulunur.
Bu bağıntıya göre, periyot
* Cismin kütlesine bağlı değildir.
* İp uzunluğunun karekökü ile doğru, yer çekim ivmesinin karekökü ile ters orantılıdır.
* Küçük genlikli salınımlar için (a < 10°) genliğe bağlı değildir.

Örnek

Çekim ivmesinin g olduğu bir ortamda t uzunluğundaki ipe bağlanmış cisim basit harmonik hareket yapmaktadır.
Başka bir değişiklik yapılmadan yalnız I uzunluğu artırılsaydı cismin,
I. maksimum hızı
II. frekansı
III. açısal hızı
niceliklerinden hangileri azalırdı?

A) Yalnız I B) Yalnız II C) Yalnız III D) I ve II E) I, II ve III

Çözüm
Basit sarkacın periyodu bağıntısı ile hesaplanır. İpin boyu artırılırsa periyot artar.
I. Cismin maksimum hızı denge konumundaki hızıdır ve v = 2.pi.r /T bağıntısı ile hesaplanır. T arttığı için v azalır. (I doğru)
II. Cismin frekansı f = 1 / T olduğundan periyot arttığı için f azalır. (II doğru)
III. Cismin açısal hızı w = 2.pi / T bağıntısı ile hesaplanır. Periyot arttığı için w
azalır. (III doğru)
Cevap E

Örnek

Aynı noktaya bağlı özdeş iki basit sarkaç, şekildeki K, N noktalarında tutulurken aynı anda serbest bırakılıyor.
Buna göre, bu sarkaçlar nerede çarpışır? (2? küçük, sarkaç kürelerinin yarıçapları önemsizdir.)

A) KL arasında B) L noktasında
C) LM arasında D) M noktasında
E) MN arasında
(1996 - ÖYS)

Çözüm
Basit sarkaçların özdeş olması iplerin uzunluklarının eşit olması demektir.
Sarkacın periyodu,

Bu bağıntıya göre, sarkaçların periyotları ? açılarına bağlı değildir, iplerinin uzunlukları eşit olduğundan her iki sarkacın periyodu eşittir. Buna göre sarkaçlar M noktasında karşılaşırlar.
Cevap D

Örnek

Aynı ortamda salınım yapan yay sarkacı ve basit sarkacın periyotları sırasıyla 2T ve T dir

Sarkaçların periyotlarının eşitlenebilmesi İçin,
I. Yay sarkacındaki cismin kütlesini azaltma
II. Basit sarkaçta ipin boyunu artırma
III. Sarkaçları çekim ivmesi daha büyük bir ortama götürme

işlemlerinden hangileri yapılabilir?

A) Yalnız I B) Yalnız II C) Yalnız III
D) I ya da II E) II ya da III

Çözüm
Yay sarkacının periyodu, , basit sarkacın periyodu ise
bağıntısı ile hesaplanır. Sarkaçların periyotlarını eşitleyebilmek için, ya yay sarkacının periyodunu azaltıcı işlemler yapılmalı ya da basit sarkacın periyodunu artırıcı işlemler yapılmalıdır.
Ancak basit sarkacın periyodu çok artırılıp, yay sarkacın periyodu az artırılarak ta periyotlar eşitlenebilir. Ya da yay sarkacının periyodu çok azaltılıp, basit sarkacınki de biraz azaltılırsa yine eşitlik sağlanabilir.
I. Yay sarkacında m nin küçültülmesi T yi azaltır. (I olabilir.)
II. Basit sarkaçta ipin boyu artırılırsa T artar. (II olabilir)
III. Ortamın çekim ivmesinin değişmesi yay sarkacını etkilemez. Verilen duruma göre basit sarkacın periyodu azalır. (III olmaz)
Cevap D