DİNAMİK

Dinamik: Kuvvet ile hareket arasındaki ilişkileri inceleyen mekaniğin bölümüne denir.

Statik: Kuvvetin etkisi altında bulunan cisimlerin denge şartlarını inceleyen mekanik bölümüdür. Dinamiğin temel ilkeleri Newton tarafından matematiksel bağıntılarla anlatılmıştır.

DİNAMİK PRENSİPLERİ

1. Eylemsizlik Prensibi
Bir cisme etkiyen kuvvetlerin bileşkesi sıfır ise cisim ya durur ya da bir doğru boyunca sabit hızla hareketine devam eder.

Şekildeki düzenekte M kütleli cismin üzerine m kütleli bir cisim konulmuştur. M kütleli cisim halkadan geçinceye kadar bir hız kazanır, m kütlesi halkaya takılınca her iki M kütleli cisim de eylemsizlik prensibine göre sabit hızlı hareket yaparak eşit zaman aralıklarında eşit yollar alır.

2 m/s hızla hareket etmekte olan cismin üzerine eşit büyüklükte ve ters yönlü iki kuvvet etki ederse cisim 2 m/s hızla hareketini sürdürür.

Sonuç olarak; bir cisme ya da sisteme etki eden net kuvvet Fnet = 0 olmak şartıyla,

İlk hız yoksa cisim duruyordur.

Eğer ilk hızı varsa o andaki hızı ile düzgün doğrusal hareket yapıyordur.

2. Temel Prensip

Bir cisme etkiyen kuvvet, bu cisme bir ivme kazandırır. Bu ivme, cisme etkiyen net kuvvetle doğru orantılıdır. Cisme etkiyen kuvvetin, cisme kazandırdığı ivmeye oranı sabittir. Bu sabit o cismin kütlesine eşittir.

Buradan dinamiğin temel prensibi, Fnet = mT.a    olur.

Fnet : Sisteme hareket doğrultusunda etkiyen kuvvetlerin bileşkesi
mT  : Harekete katılan kütlelerin toplamı
a     : Sistemin kazandığı ivme

Net kuvvet hareket yönünde ise sistem düzgün hızlanan, hareketin tersi yönünde ise sistem düzgün yavaşlayan hareket yapar. Hareketin ivmesi kendini meydana getiren net kuvvetle orantılıdır.

Dinamiğin temel prensibine göre, kütle sabit iken kuvvetin değişimi ve işareti nasılsa ivmenin değişimi ve işareti de aynıdır.

UYARI:
Sürtünmeler önemsiz ise, hareket doğrultusuna dik uygulanan kuvvetlerin net kuvvete bir etkisi yoktur.

Şekildeki ivme - kuvvet grafiğinin eğimi, matematiksel olarak kütlenin tersini verir.

F = m . a bağıntısından faydalanılarak, kütle sabit iken; kuvvet - zaman grafiğinden ivme - zaman grafiğine oradan da hız - zaman ve konum - zaman grafiklerine geçiş yapılabilir.

2 kg kütleli cisme düz bir yolda yola paralel olarak uygulanan net kuvvetin zamana göre değişim grafiği şekildeki gibi ise, F = m.a
bağıntısına göre, cismin ivme - zaman grafiği de şekil olarak kuvvet - zaman grafiğine benzer. İvme değerleri,

F = m. a1     
20 = 2. a1
a1 = 10 m/s2 olur.
F2 = m. a2 -10 =2.a2
a2 = - 5 m/s2 olur.

Net kuvvetin sıfır olduğu yerde ivme de sıfırdır.

İvme - zaman grafiğinin altında kalan alan hız değişimini verdiğine göre, cismin ilk hızı sıfır ise, hız - zaman grafiği şekildeki gibi olur.

Örnek

Sürtünmelerin önemsiz olduğu şekildeki düzenekte, 2 kg kütleli K ve 3 kg kütleli L cisimleri serbest bırakılıyor.

Buna göre,
a)   Cisimlerin ivmesi kaç m/s2 dir?
b)   Cisimler arasındaki ip gerilmesi kaç N dur? Çözüm

a) Cisimlerin kütleleri verildiğine göre, önce G = m. g den cisimlerin ağırlıkları bulunur.
m1g = 2.10 = 20N
m2g = 3.10 = 30 N   dur.

K cisminin ağırlık kuvveti hareket doğrultusuna dik olduğundan, ayrıca sürtünmelerde önemsiz olduğundan net kuvvete bir etkisi yoktur. Dinamiğin temel prensibinden, cisimlerin ortak ivmesi bulunur.

Fnet= mt. a
m2. g = (m1 + m2). a
30 = (2 + 3). a
a = 6 m/s2   olur.

b)  İp gerilmeleri bulunurken, dinamiğin temel prensibi bir ya da daha fazla cisme ayrı ayrı uygulanır.

Yukarıdaki şekle göre, dinamiğin temel prensibi yalnız K cismine uygulanırken, yalnız K ye etkiyen net kuvvet ve yalnız K nin kütlesi alınır.

Sürtünme olmadığı için K ye etki eden net kuvvet yalnız ipteki T gerilme kuvvetidir.
Fnet= mk. a dan
T = 2.6 = 12 N   olur.
Aynı mantık L cismi için uygulanırsa, L ye etki eden m2.g ağırlık kuvveti ve T ipteki gerilme kuvvetidir.
L cismi aşağı doğru hareket ettiği için m2.g > T dir. Buna göre,
Fnet= mL. a
m2.g -T = mL.a
30 - T = 3.6
T = 12 N olur.

Aynı ipin bütün noktalarındaki gerilme kuvvetinin aynı olduğu bu iki sonuçtan da anlaşılmaktadır.

3. Etki - Tepki Prensibi

Bir cisme etkiyen her kuvvete karşı, zıt yönde ve eşit şiddette bir tepki kuvveti oluşur. Bu etki ve tepki kuvvetleri farklı cisimler üzerindedir.

K ve L cisimleri birbirine dokunurken K cismini F kuvvetiyle itersek, K cismi L cismine bir kuvvet uygular. Buna karşılık L cismi de K cismine eşit büyüklükte fakat ters yönde bir tepki kuvveti uygular.

Yatay düzlemde duran cismin düzleme yaptığı etki, ağırlığı kadardır. Yatay düzlemin cisme uyguladığı tepki de cismin ağırlığına eşit büyüklükte ve ters yönlüdür.

Eylemsizlik (Tepki) Kuvveti

İvmeli hareket yapan araçların üzerindeki cisimlerin eylemsizliğini (son durumunu) korumak için oluşturdukları zahiri kuvvete eylemsizlik kuvveti denir. Eylemsizlik kuvveti aracın ivmesi ile doğru orantılıdır, v hızı ile giden araç yavaşlamaya başladığında araçtaki yolcular hareketlerine aynı hızla devam etmek isterler. Bundan dolayı ileriye doğru fırlamış gibi olurlar. Çünkü hızlarını korumak isterler. Yani sahip olduğu hızla hareketini devam ettirmek ister.

Cisme etki eden eylemsizlik kuvveti;

• Araç hızlanırken aracın hareketine zıt yöndedir.
•  Araç yavaşlarken aracın hareketi yönündedir.
•  Araç sabit hızlı iken sıfırdır.

Belediye otobüslerinde sık sık gördüğümüz otobüs hızlanırken yolcuların geriye doğru, otobüs yavaşlarken de ileri doğru hareket etmek zorunda kalmaları eylemsizliklerini (o andaki hızlarını) korumak için gösterdikleri davranışlardır. Sabit hızla giden araç içindeki bir yolcu hiçbir yere tutunmadan gidebilir. Çünkü hız sabit ise eylemsizlik kuvveti yoktur.

Eylemsizlik kuvvetinin büyüklüğü aracın ivmesi ile, cismin kütlesinin çarpımına eşittir.
Fey. = Mc . a

SÜRTÜNME KUVVETİ

Bir cisim yüzey üzerinde hareket ederken kayma yüzeyine paralel sürtünme kuvveti oluşur. Bu kuvvet, cisimlerin birbirine göre bağıl hareketlerine daima zıt yöndedir.
Şekildeki m kütleli cisme etkiyen sürtünme kuvveti cismin hareket yönüne ters yöndedir.

Sürtünme kuvveti hareketli bir cismi durdurmaya, durmakta olan bir cismin ise harekete geçmesine engel olmaya çalışan pasif bir kuvvettir. Sürtünme kuvvetinin hareket ettirici özelliği yoktur.

Durgun haldeki bir cisme etkiyen sürtünme kuvvetine statik sürtünme kuvveti denir. Bu durumda sürtünme kuvveti cisme uygulanan kuvvete büyüklükçe eşit, yönce zıttır.
Hareket halindeki bir cisme etkiyen sürtünme kuvvetine kinetik sürtünme kuvveti denir.

Statik sürtünme kuvveti, kinetik sürtünme kuvvetinden büyüktür. Problem çözümlerinde statik ve kinetik sürtünme kuvveti ayrımı yapılmamış, genel olarak sürtünme kuvveti denilmiştir.

Şekildeki K cismine etki eden maksimum sürtünme kuvveti 20 N olsun. Cisme 10 N kuvvet uygularsak sürtünme kuvveti 10 N, 15 N kuvvet uygularsak sürtünme kuvveti 15 N, 20 N kuvvet uygularsak 20 N olur. 20 N dan sonra cisim harekete geçer. Bundan sonra dış kuvvet kaç newton olursa olsun sürtünme kuvveti daima 20 N olur.

Yapılan deneyler sürtünme kuvvetinin sürtünen yüzeyleri sıkıştıran yüzeye dik olan kuvvet ile doğru orantılı olduğunu göstermiştir. Ayrıca sürtünme kuvveti sürtünen yüzeylerin cinsine, pürüzlülüğüne ve fiziksel durumuna bağlıdır. Sürtünme kuvvetinin maksimum değeri   Fs = k. N   den bulunur.

Bağıntıdaki k, sürtünme katsayısı, N ise yüzeyin tepki kuvvetidir. Bu değer sürtünme kuvvetinin maksimum değeridir.

Sürtünme kuvveti sürtünen yüzeylerin alanlarına bağlı değildir. Sürtünme katsayısı sabit olmak şartıyla, Şekil -1 deki toplam sürtünme kuvveti, Şekil - II deki L cismiyle zemin arasındaki sürtünme kuvvetine eşittir. Her iki halde de sürtünen yüzeyleri sıkıştıran kuvvetler eşit, fakat ikinci halde sürtünen yüzey daha küçüktür.

Sürtünmeli yüzey üzerindeki bir cismin ivme - uygulanan kuvvet grafiği şekildeki gibidir. Grafikteki doğrunun eğimi kütlenin tersini verir. Uygulanan kuvvet sürtünme kuvvetine eşit olduktan sonra cisim harekete geçer.
tan a = a / Fnet = 1 / m  bağıntısıyla hesaplanır.

Sürtünme Kuvvetinin Özellikleri
1.   Sürtünme kuvveti daima harekete ters yöndedir.
2.   Sürtünme kuvvetinin hareket ettirici özelliği yoktur. Hareketi engelleyici özelliği vardır.
3.   Sürtünme kuvveti cisimlerin sürtünen yüzeyinin alanlarına bağlı değildir. Yüzeylerin cinsine ve özelliğine bağlıdır.
4. Sürtünme kuvveti olmasaydı, cisimler harekete geçemez. Hareket halindeki cisimler ise duramazdı. Hiçbir kuş, arı, sinek, uçak ve helikopter uçamazdı. Yağmur ve dolu taneleri kurşun gibi kafamıza ve canlılara çarpardı.

Örnek

Cisim ile yüzey arasındaki sürtünme katsayısının 0,5 olduğu yatay düzlemdeki 2 kg kütleli cisme F kuvveti uygulanıyor.

a.   Cismin harekete geçebilmesi için F kuvveti en az kaç N olmalıdır?
b.   20 N luk yatay kuvvet uygulandığında, cismin 8 saniye de ulaştığı hızı ve aldığı yolu bulunuz?
c.   Cisim 30 m/s hıza ulaşlıktan sonra kuvvet kaldırılırsa, duruncaya kadar kaç metre yol alır?

Çözüm

a.   Sürtünme kuvvetinin en büyük değeri, fs = k.N fs = k. mg fs = 0,5.2.10 = 10 N dur.
Cisim harekete geçebilmesi için sürtünme kuvvetini yenmelidir. Hareket ettirebilmesi için gerekli en az kuvvet, sürtünme kuvvetinin maksimum değeri olan 10 N luk kuvvete eşit olmalıdır.

b.   Cismin ivmesi net kuvvetten bulunur. Fnet = m. a F-f, = m.a
20-10 = 2.a => a = 5 m/s2 dir. 8 saniyede cismin kazandığı hız,
v = a. t den v = 5.8 = 40 m/s dir.
8 saniyede aldığı yol hız - zaman grafiğinin altında kalan alandan bulunur.
x  =160m dir.

c.   Cisim hareket halinde iken F kuvveti kaldırılırsa, sürtünme kuvvetinin etkisiyle düzgün yavaşlar. Yavaşlama ivmesi,
fs = m. a
10 = 2.a
a = 5 m/s olur.
30 m/s hıza sahip olan cisim 5 m/s2 lik ivme ile 6 saniyede durur. Dolayısıyla duruncaya kadar aldığı yol grafiğin altında kalan alandan bulunur.
x = 90 m dir.

Örnek

Yatay bir yolda duran m kütleli cisme yatayla a açısı yapacak şekilde kuvvet uygulanıyor.

Buna göre, F, a, m niceliklerinden hangileri değiştiğinde sürtünme kuvveti değişir?

Çözüm

Cisme uygulanan F kuvvetinin bileşenleri Fx ve Fy dir. Cisim ile zemin arasındaki sürtünme kuvveti,
fs = k. N
fs = k.(mg-Fy) dir.
Buna göre, cismin kütlesi artarsa, sürtünme kuvveti artar, kütle azalırsa, sürtünme kuvveti de azalır.
a açısı ve F kuvveti artarsa, Fy bileşeni artar ve Fy nin artması sürtünme kuvvetini azaltır, Fy nin azalması ise sürtünme kuvvetini artırır. Eğer Fy bileşeni mg ağırlık kuvvetine eşit hale gelirse sürtünme kuvveti sıfır olur. Fx bileşeni hareket doğrultusuna paralel olduğu için sürtünme kuvvetini etkilemez.

Örnek

Yatay ve sürtünme katsayısı k = 0,2 olan zeminde durmakta olan, 4 kg ve 1 kg kütleli X ve Y cisimleri F kuvveti ile itiliyor.

Cisimler hareket halinde iken Y nin X e uyguladığı tepki kuvveti 5 N olduğuna göre, F nin büyüklüğü kaç newtondur? (g = 10 m/s2)

A) 10                  B)15                  C)20                  D) 25                  E) 30

Çözüm

Yüzey sürtünmeli olduğu için her bir cisme sürtünme kuvveti etki eder. Fs = k. N bağıntısına göre X cismine etki eden sürtünme kuvvetine Fsx denilirse,
FsX = k.mx.g
FsX = 0,2.40 = 8 N

Y cismine etki eden sürtünme kuvvetine FsY denilirse,
FsY = k. mY. g
FsY = 0,2.10 = 2N olur.
Bu kuvvetler cisimlerin hareketlerini engelleyici yöndedir.

F kuvvetinin büyüklüğünün bulunabilmesi için önce cisimlerin ivmesinin bulunması gerekir. Bunun için Y cismine temel prensip uygulanır. Şekil - II deki gibi cisimler arası tepki kuvveti T = 5 N verildiğinden
Fnet = m. a bağıntısına göre, T - FsY = mY. a 5-2 = 1.a => a = 3 m/s2 olur.

Aynı bağıntı X cismine uygulanırsa
F-(T + Fsx) = mxa
F-(5 + 8)=4.3 =>  F = 25N olur.
Cevap D

EĞİK DÜZLEMDE HAREKET

1. Sürtünmesi Önemsiz Eğik Düzlem

Şekildeki eğim açısı a olan bir eğik düzleme bırakılan cisim, ağırlığının etkisiyle harekete geçer. Cisme etkiyen kuvvet ağırlığının hareket doğrultusundaki bileşenidir. Çünkü ağırlık kuvvetinin eğik düzleme dik olan bileşeni yüzeyin tepki kuvveti tarafından dengelenir.

Taralı dik üçgenden faydalanarak,
Fx = mg . sin a
Fy = mg. cos a   olur.
Cismin ivmesi,    
Fnet = m. a
Fx = m.a
a = g . sin a

sürtünmesi önemsiz eğik düzleme bırakılan cismin ivmesi, çekim ivmesi ve eğim açısına bağlıdır. Kütlenin büyüklüğüne bağlı değildir.

2. Sürtünmeli Eğik Düzlem

Şekildeki sürtünmeli eğik düzlemde cismin harekete geçebilmesi için Fx > Fs olmalıdır.

Cismin ivmesi,
Fnet = m. a
Fx - Fs = m . a          (Fs = k. N = k. mg . cos a)
mg . sin a - k. mg . cos a = ma
a = g(sin a - k cos a) olur.

Görüldüğü gibi sürtünmeli eğik düzlemde de cismin ivmesi kütlenin büyüklüğüne bağlı değildir.

Sürtünmeli eğik düzlemde;
1.   Fx > Fs ise, cisim aşağı doğru hızlanan hareket yapar.
2.   Fx = Fs ise, cismin ilk hızı yoksa duruyor, eğer aşağı yönde ilk hızla atılırsa sabit hızlı hareket yapar.

Sabit hızlı hareket yapıyorsa, sürtünme katsayısı ile eğim açısı ilişkilidir.
Fx=Fs
mg. sin a = k. mg. cos a
k = tan a olur.

3.   Fx < Fs   ise, cisim duruyorsa harekete geçemez, ilk hızla aşağı doğru atılır ise, düzgün yavaşlayan hareket yaparak bir süre sonra durur.

Örnek

2m ve m kütleli K, L cisimleri eşit yükseklikteki sürtünmeleri önemsiz olan eğik düzlemlerin üst noktalarından serbest bırakılıyor.
a < 9 olduğuna göre,
I. L cisminin ivmesi, K ninkinden büyüktür.
II. Eğik düzlemlerin alt uçlarındaki hızları eşittir.
III.  K cisminin eğik düzlemin alt ucuna gelme süresi, L ninkinden büyüktür.
yargılarından hangileri doğrudur?

Çözüm

I. Sürtünmesi önemsiz eğik düzlemde cismin ivmesi ma = mg sina => a = g sina bağıntısından bulunur. Yani ivme kütleye bağlı olmayıp eğik düzlemin eğim açısına bağlıdır, a < 9 olduğundan, L nin ivmesi K ninkinden büyüktür. (I doğru)

II. Cisimlerin ivmeleri farklı fakat eğik düzlemlerin uzunlukları da farklıdır. Yani cisimlerin alt uca gelme hızları serbest bırakıldıkları yüksekliğe bağlıdır. Her iki eğik düzlemin yüksekliği eşit olduğundan, cisimlerin alt uçtaki hızları da eşittir. (II doğru)

III. Cisimlerin alt uca gelme süresi eğik düzlemin uzunluğuna ve cisimlerin ivmelerine bağlıdır.
x = 1/2 . a. t2 bağıntısına göre, K cisminin hem aldığı yol büyük hem de
ivmesi küçüktür. Bu iki faktörde t süresinin büyümesine neden olur. Dolayısıyla, K nin alt uca gelme süresi L ninkinden büyüktür. (III doğru)

Örnek

Şekildeki düzenekte yalnız m1 kütleli cismin bulunduğu yüzey sürtünmelidir.
Düzenek serbest bırakıldığında ivme kaç m/s2 olur?
(sin 30° = 0,5 ; g = 10 m/s2)

A) 2,5                  B)2                  C)1,2                  D) 1                   E) 0,5

Çözüm

Düzeneğin hareketini etkileyen m2 kütleli cismin ağırlığının eğik düzleme paralel bileşeni ile m1 kütleli cisme uygulanan sürtünme kuvvetidir.
Fx = m2.g sin 30° = 15 N dur. Düzeneğin ivmesi;
Fnet = mT.a
m2. g. sin 30° - k. m1. g = (m1 + m2). a
3.10.0,5-0,5.1.10= (1 + 3).a
a = 2,5 m/s2 dir.
Cevap A