DAİRESEL HAREKET

Şekildeki gibi K noktasından L noktasına doğru sabit büyüklükteki v hızı ile ilerleyen cisme L noktasında cismin hızına dik bir F kuvveti etki ederse, cisim yörüngesinden sapar. Eğer bu F kuvveti hız vektörüne dik olarak cisme sürekli etki ederse, cisim dairesel bir yörünge çizmeye başlar.

Bir çember üzerinde eşit zaman aralıklarında eşit yollar alan cismin hareketine düzgün dairesel hareket denir. Ya da sabit büyüklükte hızla dönerek çembersel yörünge çizen cismin yaptığı harekete düzgün dairesel hareket denir.

Dairesel hareket yapan bir cisme etkiyen F kuvvetinin yönü dairenin merkezine yöneliktir. Hız vektörü ise bütün noktalarda F kuvvetine dik ve yörüngeye teğettir.

Periyot ve Frekans

Düzgün dairesel hareket yapan cismin bir tam devir yapması için geçen zamana periyot denir. T ile gösterilir, birimi ise saniyedir.
Düzgün dairesel hareket yapan cismin birim zamanda yaptığı devir sayısına frekans denir, f ile gösterilir, birimi ---------ya da s~1 şeklinde gösterilir.
saniye

Periyot ile frekans birbirinin tersidir. Periyot ile frekans arasında,

eşitliği vardır.

Düzgün dairesel hareket yapan bir cisim şekildeki K noktasından L noktasına 1 saniyede geliyor. Bir turun 1/4 ünü 1 saniyede alan cisim bir deviri 4 saniyede tamamlar. Dolayısıyla periyodu 4 saniyedir.
Frekansı ise, f =1 / T den f = 1/4 s-1   dir.
 
Açısal Hız

Dairesel hareket yapan cismin yarı çap vektörünün, birim zamanda taradığı açının radyan cinsinden değerine açısal hız denir.

Periyot

ya da

olur.

360° = 2? radyan 180° = ? radyan

Yarı çap uzunluğundaki yayı gören merkez açıya 1 radyan denir.
r yayı                              1 radyan ise
2 ? r yayı                          x radyan dır.
Tam açı = x = 2 ?  radyandır.

Çizgisel Hız

Düzgün dairesel hareket yapan cismin, birim zamanda aldığı çembersel yolun uzunluğu çizgisel hızın büyüklüğüne eşittir. Cisim T periyotluk sürede bir tur atarak dairenin çevresi olan 2 ? rkadar yol alır.

ya da

olur.

değeri yerine yazılırsa, çizgisel hız ile açısal hız arasında,

bağıntısı elde edilir.

Bu bağıntıya göre düzgün dairesel harekette periyot ve açısal hız sabit olduğundan çizgisel hızın büyüklüğü yarı çapa bağlıdır. Yani yarı çapla doğru orantılıdır.
Şekildeki bir ipe bağlı cisimler eşit aralıklarla bağlanarak O noktası etrafında sabit periyotla döndürülüyor. Çizgisel hızlarının büyüklüklerini kıyaslayalım.
Periyot, dolayısıyla açısal hızları eşit, her üç cisim için de çizgisel hız yarı çapla orantılıdır.
v = w. r den v1 = w. r = v denilirse,
v2 = w.2r = 2v    ;    v3 = w. 3r = 3v olur.

Örnek

2 kg kütleli bir cisim, 1 m yarı çaplı bir yörüngede 10 m/s hızla düzgün dairesel hareket yapıyor.

Buna göre,
a)   Cismin periyodu kaç saniyedir?
b)   Cismin frekansı kaç s-1 dir?
c)   Cismin açısal hızı kaç rad/s dir? (?= 3 alınız.)

Çözüm
a)   Cismin periyodu, v =2 ?r / T bağıntısından bulunur. Verilen değerler yerine yazılıp, T periyodu yalnız bırakılırsa,

T = 0,6 saniye

b)   Periyot ile frekans arasında T . f = 1  bağıntısı vardır.
f=5/3 olur.

c)   Açısal hız, w = 2 ? / T  bağıntısından bulunur.
w =10 rad/s dır.

Örnek

Periyotları sırasıyla 2 saniye ve 3 saniye olan X ve Y cisimleri şekildeki konumlarından aynı anda ve gösterilen yönlerde geçiyor.
8 saniye sonra cisimlerin konumu aşağıdakilerden hangisi gibi olur?

Çözüm
Periyot cisimlerin 360° yi alma süreleridir. X in periyodu 2 saniye olduğundan 8 saniyede 4 tur artar ve ilk konumunda olur.
Y cismi ise periyodu 3 saniye olduğundan 8 saniyede 2 tam tur atar ve 2 saniye daha hareket etmesi gerekir.
Y cismi 3 saniyede 360° dönerse, 2 saniyede 240° döner. Dolayısıyla ilk konumundan itibaren 240° dönmektedir. Böyle bir durumda O noktasına göre E sıkkındaki gibi 60° lik açı oluşur.
Cevap E

Merkezcil İvme

Düzgün dairesel hareket yapan cismin merkezcil ivmesi, hızın büyüklüğünün değil, yönünün değişmesinden ortaya çıkar.

Hız vektörlerinin başlangıç noktaları birleştirilirse, hızdaki değişme miktarı Av olur.

Ayrıca hızdaki değişme miktarı,

 dir.

Bu bağıntılar kullanılarak merkezcil ivme için,

bağıntısı bulunur.

Ayrıca, v = w . r den w değeri yerine yazılırsa,

olur.

Bu bağıntı merkezcil ivmenin büyüklüğünü verir. Merkezcil ivme vektörü daima merkeze yöneliktir.

Ortalama İvme

Düzgün dairesel harekette cismin hızı büyüklük olarak hiç değişmemesine rağmen yönü daima değişir. Hız vektörel bir büyüklük olduğundan yönünün değişmesi hızın vektörel değerinin değişmesi demektir. Birim zamanda meydana gelen hız değişimi anlık ivmeyi veriyordu. Birim zamandan başka herhangi bir sürede meydana gelen hız değişimine ise, ortalama ivme denir. Ve bu ivmenin yönü de ?v hız değişimi vektörünün yönündedir.

Şekilde, cisim K noktasından L noktasına geldiğinde hız vektörleri şekildeki gibi olur. Bu vektörlerinin başlangıç noktaları birleştirilerek ?v  hız değişimi çizilir.

Ortalama ivme =

bağıntısından bulunur.

Örnek

Periyodu 6 saniye olacak şekilde düzgün dairesel hareket yapan bir cismin çizgisel hızı 10 m/s dir.

Buna göre,
a)   İlk 1 saniye içindeki,
b)   İlk 1,5 saniye içindeki,
cismin ortalama ivmelerini hesaplayınız?

Çözüm

a) Cismin ortalama ivmesi, aort = ?V / ?t den bulunur.
Cismin periyodu 6 saniye dir.
6 saniye de                           360° dönerse
1 saniye de                               x° döner.
x = 60° döner.
Ayrıca, cismin periyodu 6 saniye olduğu için, 360° yi 6 saniyede döner. 1 saniyede ise 60°, 1,5 saniyede ise 90°, 3 saniyede ise 180° döner.
?v  = vson - vilk olduğundan, şekilde görüldüğü gibi ?v  = 10 m/s olur.
aort = 10 m/s2   olur.

b) Cisim 1,5 saniyede 90° döndüğünde ortalama ivme,
aort = ?v / ?t den
Şekilde görüldüğü gibi, ?v=10?2 m/s olur. ?t = 1,5 s olduğundan,
aort = 20?2 / 3 olur.

Merkezcil Kuvvet

Cismin dairesel yörüngede dönmesini sağlayan, yönü daima dairenin merkezine yönelik olan kuvvete merkezcil kuvvet denir.
R yarı çaplı yörüngede düzgün dairesel hareket yapan cismin merkezcil ivmesinin,
a = v2 / R büyüklükte olduğu belirtilmişti.
Merkezcil kuvvetin büyüklüğü dinamiğin temel prensibinden yararlanılarak bulunabilir.

F = m . a dan

olur. v = w. R
değeri yerine yazılırsa merkezcil kuvvet,

olarak da ifade edilebilir.
Şekildeki yatay düzlemde R yarı çaplı yörünge izleyerek düzgün dairesel hareket yapan cismin bağlı olduğu ipteki gerilme kuvveti, merkezcil kuvvete eşit olur.

Önemli Not:
Düzgün dairesel hareket yapan cisim için aynı anda hem merkezcil kuvvet hem de merkezkaç kuvvet birlikte düşünülemez. Eğer öyle olsaydı, bu iki kuvvet eşit büyüklükte ve zıt yönlü olduğundan birbirini yok eder ve cismin doğrusal yörüngede gitmesi gerekirdi.

Merkezkaç Kuvveti

Dairesel hareket yapan bir cismin üzerinde bulunduğumuzda bizi dışarı doğru savuran bir kuvvetin varlığını hissederiz. İşte bu kuvvete merkezkaç kuvveti denir. Aynı zamanda bu kuvvet ivmeli hareket yapan sistem içinde bulunan cisimlere etki eden eylemsizlik kuvvetidir. Merkezcil ve merkezkaç kuvveti gözlemcinin bulunduğu yere göre farklı yorumlanabilen kuvvetlerdir. Gözlemci dairesel hareket yapan düzeneğin dışında ise merkezcil kuvvetten, içinde ise, merkezkaç kuvvetinden bahsedebiliriz. Yerdeki gözlemciye göre merkezkaç kuvveti diye bir kuvvet yoktur. Bu iki kuvvetin varlığı aynı anda birlikte düşünülemez. Soruların çözümünde kolaylık sağlaması açısından, merkezkaç kuvveti dikkate alınacaktır.

Şekilde yatay düzlemde düzgün dairesel hareket yapan cisme etki eden kuvvetler gösterilmiştir. Burada, ipteki gerilme kuvveti merkezkaç kuvvetine eşittir. İp gerilmesine T denilirse,

dir.

Yatay Düzlemde Düzgün Dairesel Hareket

Yatay düzlemde düzgün dairesel hareket yapan cismin ağırlık kuvveti düşey eksende olduğu için, ağırlık kuvvetinin merkezkaç kuvvete ve ipteki gerilme kuvvetine bir etkisi yoktur.

İpteki gerilme kuvveti, yörünge boyunca merkezkaç kuvvetine eşittir.

dir.

Örnek

Bir ipin ucuna ve ortasına m ve 2m kütleli cisim bağlanarak yatay düzlemde düzgün dairesel hareket yaptırılıyor.
Buna göre, iplerdeki T1 ve T2 gerilme kuvvetlerinin T1 / T2 oranı kaçtır?

A) 4                    B) 3                    C) 2                    D) 1                    E) 0,5

Çözüm

İple birlikte cisimler yatay düzlemde dolanırken periyotları ve açısal hızları eşit olur. Cisimlerin hızları ise v ve 2v büyüklüğündedir.
T2 gerilme kuvveti m kütleli cisme etki eden merkezkaç kuvvetine eşittir.
Buradan, T2 = m . w2. 2r olur.

T1 ip gerilmesi ise 2m ve m kütleli cisimlere etki eden merkezkaç kuvvetlerinin toplamına eşittir. Buradan,

T1 = 2m.w2.r + m.w2.2r = 4m.w2.r olur.

İp gerilmelerinin oranı ise 2 olur.
Cevap C

Örnek

Sürtünme katsayısı k = 0,4 olan yatay bir tablanın merkezine ip ile bağlanmış 2 kg kütleli cisim tabla w = 4 rad/s lik açısal hız ile dönerken tabla ile birlikte dönmektedir.

Cismin; tablanın dönme eksenine uzaklığı 2 m olduğuna göre, ipte oluşan gerilme kuvveti kaç N dur? (g = 10 m/s2)

A) 64    B) 56    C) 48   D) 36   E) 8

Çözüm

Cisim tabla ile birlikte dönerken, cisme etki eden kuvvetlerin bileşkesi sıfır demektir.
Cisme etki eden kuvvetlere göre, T + Fs  = Fmer olmalıdır.

Sürtünme kuvveti,
Fs = k. N
Fs = k. mg
Fs = 0,4.2.10 = 8N dur.

Merkezcil kuvvet
F = m . w2. r
F = 2 . 42 . 2 = 64 N olur.
Bulunan bu değerler yerine yazılırsa,
T + 8 = 64 = 56 N olur.
Cevap B

Düşey Düzlemde Düzgün Dairesel Hareket

Düşey düzlemde düzgün dairesel hareket yapan cismin çizgisel hızının büyüklüğü yörünge boyunca sabittir, ipe bağlı cisim düşey düzlemde düzgün dairesel hareket yaparken K, L, N, P noktalarından geçerken kuvvetler gösterilmiştir. Cisim K, L, N, P noktalarından geçerken TK, TL, TN, Tp ip gerilmelerini bulalım.

K noktasında iken,
TK + mg = Fm
TK= Fm - mg dır.

L noktasında iken,
TL = Fm   dır.

N noktasında iken,
TN = Fm + mg

P noktasında iken,
Tp = Fm + mg. cos a

Örnek

Düşey düzlemde düzgün dairesel hareket yapan 2 kg kütleli cisim K noktasından geçerken ipte oluşan gerilme kuvveti 30 N dur.

Cisim L noktasından geçerken ipte oluşan gerilme kuvveti TL, M noktasından geçerken ipte oluşan gerilme kuvveti TM olduğuna göre, TL/TM oranı kaçtır? (g = 10 N/kg)

Çözüm
Cisim K noktasından geçerken ip gerilmesi merkezkaç kuvvetine eşittir. İp gerilmesi 30 N verildiğine göre merkezkaç kuvveti 30 N dur. Cisim düzgün dairesel hareket yaptığı için L ve M noktalarında da merkezkaç kuvveti 30 N dur.
Cisim L noktasından geçerken ip gerilmesi en küçük ve TL = 30-2.10 = 30-20 = 10 N dur.
Cisim K noktasından geçerken ip gerilmesi maksimumdur ve TM = 30 + 2.10 = 50 N dur.
İp gerilmelerinin oranı =  1/5

Örnek
Eğrilik yarı çapı 300 m ve sürtünme katsayısı 0,3 olan yatay bir viraja K, L, M araçları sırasıyla 15 m/s, 20 m/s ve 35 m/s lik hızlarla ayrı ayrı giriyor.

Buna göre,
I. K aracı güvenli bir şekilde virajı döner.
II. L aracı güvenli bir şekilde virajı döner.
III. M aracı devrilir.
yargılarından hangileri doğrudur?

A) Yalnız I       B) Yalnız II       C) Yalnız III
D) I ve II                E) I, II ve III

Çözüm
Sürtünmeli yatay bir viraja giren aracın, virajı emniyetli bir biçimde devrilmeden dönebilmesi için hızı, v = ?kgr   bağıntısı
ile hesaplanan hız değerine eşit ya da daha küçük olmalıdır.
Viraja girecek araçlar için maksimum hız;
v = ?0,3.10.300      
v = 30 m/s   olur.
Soruda K, L, M araçlarının verilen hız değerlerine göre, K ile L güvenli bir biçimde virajı dönerken, M aracı dönemez devrilir. O halde I., II. ve III. yargılar doğrudur.
Cevap E

Yatay Viraj

Doğrusal bir yolda hareket eden araba, virajlı yatay bir yola girdiği zaman düzgün dairesel hareket yapar.

Aracın yatay yolda virajı dönerken, bu yol üzerindeki hareketini sürdürebilmesi için, gerekli olan kuvvet sürtünme kuvveti ile sağlanır. Bu sürtünme kuvveti tekerler ile yer arasında olup yarı çap doğrultusundadır. Şekil-II de görüldüğü gibi arabanın virajı güvenli bir biçimde dönebilmesi için,
Fs > Fm olmalıdır.
Fs = kN
Fs = k. mg dir.

olur.

Viraja giren arabanın savrulmadan sahip olacağı maksimum hız, Vmax = ?kgR den bulunur.

Eğimli Virajlar

Eğer virajlara içeriye doğru eğim verilirse arabalarının böylelikle daha hızlı ve daha güvenli şekilde dönmeleri sağlanmış olur. Bu tür eğimli virajlarda sürtünmeler ihmal edilirse; aracın virajda hareketini sürdürebilmesi için mg ağırlık kuvveti ile, yolun N tepki kuvvetinin bileşkesi merkezcil kuvvete eşit olmalıdır. Ya da, mg ile merkezkaç kuvvetinin bileşkesi N tepki kuvvetine eşit ve zıt yönlü olmalıdır.

v2 =g.R.tan a  bağıntısı bulunur.

Örnek

Sürtünmesi önemsiz ortamda eğim açısı 37° olan bir viraja giren aracın 30 m yarı çaplı yörüngede dönebilmesi için hızı en fazla v kadar olmaktadır.

Buna göre, v kaç m/s dir? (g = 10 m/s2; sin 37° = 0,6 ; cos 37° = 0,8)

A) 5                   B) 10                  C) 15                   D) 20                  E) 25

Çözüm

Eğimli bir virajda aracın verilen yörüngeyi izleyebilmesi için hızı v = ?g.r.tan a bağıntısıyla hesaplanan hıza eşit olmalıdır. Verilen değerlere göre,
V =15 m/s
Cevap C

Örnek

Sürtünmesi önemsiz ortamda 50 cm uzunluğundaki ipin ucuna bağlanmış 0,2 kg kütleli cisim O noktasından geçen düşey eksen etrafında düzgün dairesel hareket yapmaktadır. Cisim K noktasından geçerken ip kesildiğinde, L noktasında yere çarpıyor.

Şekildeki verilenlere göre, cisim K noktasında iken ip gerilmesi kaç N
dur? (g = 10 m/s2)

A) 6                   B) 8                   C) 10                   D) 12                   E) 14

Çözüm

Cisim K noktasından sonra yatay atış hareketi yaparak L noktasına düşer. K noktasının yerden yüksekliğine h denilirse,
h = 4 + 0,5 + 0,5 = 5 m   dir.
Cismin yatayda aldığı yol ise 5 m dir. Yatay atış hareketinin özellikleri hatırlanırsa, cisim h yüksekliğini serbest düşme ile yatay yolu ise sabit v hızı ile alır. Buna göre,
h=1/2gt2
5 = 5t2 => t = 1 saniye olur.
x = v.t den 5 = v.1   => v = 5 m/s dir.
Yani cisim K noktasından 5 m/s lik hız ile geçmiştir.
Düşey düzlemde düzgün dairesel hareket yapan cisim için minimum ip gerilmesi
T = mv2/r - mg bağıntısı ile hesaplanıyordu.
Verilen değerler yerine konulursa, T=10-2=8N olur.
Cevap B