W W W . O S S F I Z I K . C O M = > ÖSS Fizik hazırlığında 1 numara

Yere göre belirli bir yükseklikten bırakılan cisimler düşey doğrultuda yeryüzüne düşerler. Bu olay, cisimleri yerin merkezine doğru çeken bir kuvvetin var olduğunu gösterir. Bu kuvvet yer çekimi kuvvetidir.

Yer çekimi kuvveti etkisi altında yapılan tüm hareketlere genel olarak atış hareketi denir.

Bir cismin kütlesi ile yer çekiminin çarpımına o cismin ağırlığı denir.
m : Cismin kütlesi I
g : Yer çekimi ivmesi

(Yeryüzüne yakın hareketlerde g = 9,8 = 10 m/s2 = N/kg)
G : Ağırlık kuvveti olmak üzere, G = mg dir.
Ağırlık vektörel bir büyüklük olup yönü yerin merkezine doğrudur.

Özel olarak belirtilmediği sürece, atış problemlerinde hava direnci göz önüne alınmayacaktır. Hava direnci önemsenmiyor ise atış hareketleri kütleden bağımsız olur.

Şekilde, havasız ortamda bir kuş tüyü ile çelik bilye aynı anda serbest bırakılırsa, aynı anda ve aynı hızla yere çarpar. Hava ortamda ise çelik bilye daha önce düşer. Serbest bırakılan cisimlerin düşmelerine neden olan etken yer çekimidir. Yer çekiminin etkisinde olan bütün cisimler sabit ve aşağı yönlü olan bir ivmeyle hareket eder. Bu da,
F = m.a dan mg = m.a => g = a dır.
Yer çekimi kuvveti etkisinde kalan bütün cisimler, g = 10 m/s2 lik düşey doğrultudaki ivmenin etkisindedir.

Atış Hareketi İle İlgili Formüller
Atış hareketleri hareket tipi olarak doğrusal hareketlerin aynısı olduğu için formülleri de doğrusal hareket formüllerinin aynısıdır. Yalnızca, a yerine g ; x yerine de h kullanılır.
Formüllerde, v0 : İlk hız v : Son hız t : Zaman h : Yer değiştirme g : Ortamın çekim ivmesi dir.

Yol denklemi

Hız denklemi

Zamansız hız formülü

Cisim düzgün hızlanan hareket yapıyorsa aradaki işaretler (+), düzgün yavaşlayan hareket yapıyorsa aradaki işaret (-) alınacaktır.
Buna göre, serbest düşme ve yukarıdan aşağıya düşey atışta aradaki işaret (+) alınacaktır. Aşağıdan yukarıya düşey atışta ise aradaki işaret (-) alınacaktır.
Serbest düşmede ilk hız olmadığından formüllerde v0 yerine sıfır yazılır ve serbest düşme denklemleri elde edilir.

Havasız ortamda kuş tüyü ile bilye eşit ivme ile hızlanır.

SERBEST DÜŞME

Yere göre belirli bir yükseklikten serbest (ilk hızsız) bırakılan cismin ağırlığının etkisiyle yaptığı harekete serbest düşme denir. Buluttan düşen yağmur damlasının hareketi gibi... Burada cisim, yalnızca yer çekimi kuvvetinin etkisinde hareket ettiğinden düzgün hızlanan hareket yapar.

Yer çekimi ivmesi g = 10 m/s2 olduğu hatırlanırsa cismin hızı her saniye 10 ar, 10 ar, ... artar. Her saniye aldığı yol ise, h, 3h, 5h, 7h ... şeklinde artar.

Şekildeki ölçekli ortamda, X cismi verilen kurala göre t anında K noktasından geçiyorsa 2t anında L den geçerek 3t anında ise yere çarpar.

Aynı şekilde Y cismi ise t anında N den geçiyorsa, 2t anında yere çarpar.
Burada cisim yalnızca yer çekimi kuvvetinin etkisinde hareket ettiğinden düzgün hızlanan hareket yapar. Dolayısıyla hareket formülleri burada da geçerlidir. Serbest düşmede ilk hız sıfır olduğundan, hareket denklemlerin-deki v0 yerine sıfır, a ivmesi yerine g çekim ivmesi, x yer değiştirme yerine de h yazılır.

Buna göre serbest düşme için aşağıdaki formüller yazılabilir.

t saniye de alınan yol

t saniye sonraki hızı

zamansız hız formülü

şeklinde yazılır.

Serbest Düşme Hareketinin Grafikleri

Konum - zaman grafiğinde cismin bırakıldığı nokta orijin olarak alınmıştır. Vektörler için aşağı yön negatif, yukarı yön pozitif seçilmiştir. Hatırlanacağı üzere konum - zaman grafiğinde eğim hızı, hız - zaman grafiğinde eğim ivmeyi veriyordu.
Atış hareketlerinin tümünde ivme, yerin çekim ivmesine eşittir.

Örnek

Sürtünmesi önemsiz ortamda konumları şekilde verilen K, L, M cisimleri aynı anda serbest bırakılıyor.
Buna göre,
I. K cismi Y düzeyine geldiğinde, L cismi Z düzeyine gelir.
II. L cismi Z düzeyine geldiğinde, M cismi yere çarpar.
III. K cisminin yere çarpma hızı en büyük, M cisminin yere çarpma hızı en küçüktür.
yargılarından hangileri doğrudur?

A) Yalnız II B) Yalnız III C) I ve II
D) II ve III E) I, II ve III

Çözüm
Sürtünmesiz ortamda serbest düşmeye bırakılan cisimler eşit sürede eşit miktar düşerler. Dolayısıyla I. ve II. yargılar doğrudur.
Serbest düşmeye bırakılan cisimlerin yere çarpma hızı bırakıldıkları yükseklikle orantılıdır. Yani yere çarpma hızı en büyük olan K, en küçük olan ise M cismidir. (III doğru)
Cevap E

Sürtünmeli Ortamda Serbest Düşme (Limit Hız)

Akışkan içinde hareket eden cisimlere hareket yönüne zıt yönde bir direnç kuvveti uygulanır. Bu kuvvetin büyüklüğü;
a.   Cismin hareket doğrultusuna dik olan en büyük kesit alanı ile doğru orantılıdır.
b.   Hızın karesiyle doğru orantılıdır. Ancak çok küçük hızlar için hız ile, çok büyük hızlar için ise hızın daha büyük üsleriyle doğru orantılı olabilir.
c.   Cismin biçimine ve akışkanın öz kütlesine bağlıdır.

Direnç kuvveti;

dir.

k : Cismin biçimine ve akışkanın öz kütlesine bağlı bir katsayıdır.
A : Cismin hareket doğrultusuna dik olan en büyük kesit alanıdır. v : Cismin akışkana göre hızıdır.

Hava ortamında bir cisim ilk hızsız bırakıldığında, cisim ağırlığının etkisiyle hızlanmaya başlar. Hız arttıkça hava direnci de artar. Belirli bir hıza geldiğinde cismin ağırlığı hava direncine eşit olur. Bundan sonra net kuvvet sıfır olacağından cisim sabit hızla hareketini sürdürür. Bu hıza cismin limit hızı denir.

Aynı düzeyden serbest bırakılan K ve L cisimlerinin konumları şekildeki gibi ise, bu cisimlerin limit hızları eşit büyüklüktedir. Çünkü, limit hıza ulaşan cisimler bundan sonra aynı hızla yoluna devam eder ve eşit zamanlarda eşit yol alırlar.

Limit Hız Grafikleri

Cismin düşme yönü pozitif yön seçilirse, aşağı yönde farklı hızlarla atılan cisimlerin hız - zaman grafikleri şekildeki gibi olur.

Görüldüğü gibi limit hız, ortam değişmedikçe sabittir. İlk hıza bağlı değildir.

Örnek

Aynı yatay düzeyden I, II ve III ortamları içerisinde serbest bırakılan X, Y, Z cisimleri yere v1 v2, v3 büyüklüğündeki hızlarla çarpıyorlar.

Hızların büyüklükleri arasında v1 < v2 < v3 ilişkisi olduğuna göre, hangi ortamlar kesinlikle sürtünmen hava ortamıdır?

A) Yalnız I B) Yalnız II C) Yalnız III D) I ve II E) II ve III

Çözüm

Hava ortamında serbest bırakılan cisme hareketine ters yönde, hava direnç kuvveti uygulanır. Bu kuvvet ağırlık kuvvetine ters yönlü olduğu için cismin hızlanma ivmesini küçültür. Dolayısıyla yere daha küçük bir hızla çarpar. (Yağmur ve doluda olduğu gibi)

Z cisminin yere çarpma hızı en büyük olduğuna göre, I ve II ortamları kesinlikle hava direncinin uygulandığı ortamlardır. III ortamında hava olabilir de olmayabilir de bu kesin değildir.
Cevap D

DÜŞEY ATIŞ

1. Sürtünmesiz Ortamda Aşağıya Düşey Atış

h yüksekliğinden v0 ilk hızıyla atılan bir cismin, ağırlığının etkisiyle yaptığı sabit ivmeli düzgün hızlanan doğrusal harekete, yukarıdan aşağıya düşey atış hareketi denir. Cismin hızı her saniye yer çekim ivmesi kadar artar. Serbest düşme hareketinden tek farkı, bir ilk hızının olmasıdır. Bu harekete ait grafikler aşağıdaki gibidir.

2. Sürtünmesiz Ortamda Yukarıya Düşey Atış

Düşey olarak yukarı doğru v0 hızıyla atılan bir cisim hareket yönüne ters yönde etki eden ağırlık kuvvetinin etkisinde g ivmesi ile yavaşlayarak durur ve maksimum yükseklikten itibaren serbest düşme hareketi yapar. Bu harekete aşağıdan yukarı düşey atış denir. Hareketin grafikleri aşağıda görüldüğü gibidir.

Aşağıdan Yukarıya Düşey Atış Hareketinin Özellikleri

1. Yerden h yüksekliğinden yukarı yönde düşey olarak v0 hızı ile cisim atılıyor. Buna göre, h ; cismin aldığı yol değil, cismin ilk atıldığı noktaya göre konumudur. Verilen şekle göre, cisim K noktasında ise, h(+) dır. Cisim L noktasında ise, h(0) dır. Cisim M noktasında ise, h(-) dir.

2. Şekilde aşağıdan yukarı doğru düşey atılan cismin maksimum yüksekliğe çıkış süresi iniş süresine eşittir.

Çıkış süresi hız denkleminden bulunur.
v = vo-g.t

Tepe noktasında hız sıfır olacağından geçen zaman çıkış süresidir.

3. Cisim | LN | yolunu, | KL| yolundan daha kısa zamanda alır. Çünkü | LN | arasındaki ortalama hız, | KL| arasındaki ortalama hızdan daha büyüktür.

4. Yörünge üzerindeki herhangi bir düzeyde hızların büyüklüğü eşit ve yönü zıttır.
Şekle göre L düzeyindeki cismin, yukarı doğru çıkıştaki v1 hızının büyüklüğü, inişteki v2 hızının büyüklüğüne eşittir. Yani şiddetleri; v1 = v2 ve vektörel değerleri arasındaki ilişki ise, v1 = - v2 dir.

5. Cismin çıkabileceği maksimum yükseklik zamansız hız formülünden bulunur.
v2 = vo2 - 2gh
Son hız sıfır olduğunda cisim maksimum yüksekliğe çıkmıştır. 0 = vo2 - 2ghmax

Çıkış süresi ve hmax değerleri hız - zaman grafiğinden de bulunabilir.
Zaman ekseninin üstündeki alan çıkarken aldığı yolu, altındaki alan ise inerken aldığı yolu verir.

Örnek

Yerden yukarı doğru vK ve vL hızlarıyla aynı anda atılan K ve L cisimlerinin X düzeyindeki hızları vK' ve vL' dir.
vK < vL olduğuna göre,

I. vK < vL dir.
II. K cismi yere daha önce düşer.
III. X düzeyine önce L cismi varmıştır.
yargılarından hangileri doğrudur? (Hava sürtünmeleri önemsenmeyecektir.)
A) Yalnız I B) Yalnız II C) I ve II D) II ve III E) I, II ve III

Çözüm

I. K ve L cisimleri yerden eşit büyüklükteki hızlarla düşey olarak atılırsa, aynı düzeydeki hızları yine eşit olur. Çünkü her ikisinin de yavaşlama ivmesi aynı ve yer çekim ivmesine eşittir. vK' < vL' olduğuna göre, L nin atılma hızı K ninkinden büyüktür (vK < vL). (I doğru)

II. Aynı anda düşey olarak yukarı doğru atılan cisimlerden ilk hızı küçük olan daha önce yere düşer. Ayrıca çıkabildiği maksimum yükseklik küçük olur. (II doğru),

III. L nin ilk hızı K ninkinden büyük, ivmeler de eşit olduğu için, L eşit uzunluktaki yüksekliği daha kısa zamanda alır ve X düzeyine K den önce ulaşır. (III doğru)
Cevap E

Örnek

Sürtünmesi önemsiz ortamda h yüksekliğinden v0 hızı ile düşey olarak yukarı doğru atılan cisim yere 30 m/s hızla çarpıyor.

Cismin uçuş süresi 5 saniye olduğuna göre,
I. v0 = 20 m/s dir.
II. h = 25 m dir.
III. Cismin 3 saniye sonra yerden yüksekliği 40 m dir.
yargılarından hangileri doğrudur? (g = 10 m/s2)

A) Yalnız I B) Yalnız II C) Yalnız III D) I ve III E) I, II ve III

Çözüm

I. Cismin hareket süresi ve yere çarpma hızı bilindiğine göre, v = vo-g .t bağıntısı kullanılır. Ancak cismin yere çarpma hızı ilk hıza zıt yönde olduğu için (-) işaretli alınır.

-30 = v0-10.5 v0 = 50 - 30 v0 = 20 m/s dir. (I doğru)

II. Cismin ilk hızı 20 m/s olarak I. yargıda bulunmuştur. Zamansız hız bağıntısına göre, h yüksekliği bulunur.
v2 = v02 - 2g.(-h)
302 = 202-2.10.(-h)
900 = 400 + 20h
h = 25 m dir. (II doğru)

III. Cismin 3 saniye sonundaki konumu h = v0 .t – ½.g t2 bağıntısı ile
bulunur.
h' = 20.3 - 5.32 = 60 - 45 = 15 m olur.
Cismin yerden yüksekliği ise, h + h' ye eşittir.
Buradan cismin yerden yüksekliği 15 + 25 = 40 m olur. (III doğru)
Cevap E

Önemli Not:

Şekilde v hızı ile yukarı doğru hareket eden balondan bir cisim atılıyor. Cisim balona göre nasıl atılıyorsa, balondaki gözlemci cismi o şekilde bir hareket ediyor olarak görür.

Balondaki gözlemci balonun hızını fark etmez. Çünkü kendisi de balonla birlikte aynı yönde ve aynı hıza sahiptir.

Yerde durmakta olan gözlemciye göre, cismin hareketi, cismin balona göre hızı ile balonun hızının bileşkesi yönünde ve şiddetinde bir atış hareketi yaptığını görür. Buna göre, yerdeki gözlemci balona göre 2v hızı ile aşağı atılan cismi,

Vcisim = -2v + v = -v hızı ile aşağı doğru düşey atış hareketi yaptığını görür. Burada aşağı yön, negatif alınmıştır.

Örnek

Şekildeki balon yukarı yönde v hızıyla gitmekte İken, balondaki çocuk topu balona göre.

a)   Serbest bırakırsa
b)   Yukarı yönde 2v hızıyla atarsa
c)   Aşağı yönde 3v hızıyla atarsa

top yerdeki gözlemciye göre nasıl bir atış hareketi yapar?

Çözüm

Topun yere göre hızı, balonun hızı ile balona göre hızının bileşkesine eşittir. Soruların cevabı bu mantığa göre bulunabilir.

a) Topun balona göre sejbest bırakılması demek balona göre hızının sıfır olması demektir. Balonun hızı ile bileşkesi alınırsa, yere göre hız yukarı yönde balonun hızına eşit olacaktır. Dolayısıyla top v hızı ile yukarı yönde düşey atış hareketi yapacaktır.

b) Yukarı yönde 2v hızıyla balona göre atılırsa, yere göre hız yukarı yönde 3v olacaktır. Dolayısıyla top yere göre 3v hızıyla yukarı yönde düşey atış hareketi yapacaktır.

c) Top balona göre aşağı yönde 3v hızıyla atılırsa, yere göre hızı aşağı yönde 2v olacağından, topta 2v hızıyla aşağı yönde düşey atış hareketi yapacaktır.

YATAY ATIŞ

Yerden belli bir yükseklikten yatay olarak v0 hızıyla atılan bir cismin yer çekimi kuvvetinin etkisinde yaptığı harekete yatay atış denir. Şekilde 20 m/s hızla yatay atılmış bir cisim ile aynı anda serbest düşmeye bırakılmış bir cismin yörüngeleri gösterilmiştir.

Yörünge üzerindeki noktalar 1 saniye aralıklarla işaretlenmiştir. Şekilden de görüldüğü gibi yatay atılan cismin düşeyde aldığı yollar serbest düşen cisimle aynı olmaktadır.

Yatay olarak v0 hızıyla atılan bir cisim aynı anda iki hareketi birden yapmaktadır.

1. Bir cismin ağırlık kuvveti düşey doğrultuda ve aşağı yönlüdür. Bu ağırlık kuvvetinin yatay bileşeni olmadığından yatay doğrultuda cisme herhangi bir kuvvet etki etmez. Kuvvet uygulanmayınca ivme olmaz ve cismin yatay hızı yörünge boyunca değişmez. Yani cisim yatay doğrultuda düzgün doğrusal hareket yapar. Yatay doğrultudaki her türlü nicelik, düzgün doğrusal hareketin özelliklerinden bulunur.

2. Yatay atılan bir cismin düşey doğrultudaki ilk hızı sı-
fırdır. Yer çekimi kuvvetinin etkisiyle cisim g sabit ivmesi ile düzgün hızlanan hareket yapmaktadır. Yani cisim düşeyde serbest düşme hareketi yapar.

Şekilde de görüldüğü gibi bir cisim yatay olarak atıldığı anda başka bir cisim serbest düşmeye bırakılıyor. Her iki cisimde aynı anda yere düşüyor. Dolayısıyla iki cisimde düşeyde eşit sürede, eşit yollar almaktadır.

Buna göre, yatay atış, yataydaki sabit hızlı hareket ile, düşeydeki serbest düşme hareketinin bileşkesi denilebilir. Her iki hareket için de uçuş süreleri eşittir.

Yatay Atışla İlgili Özellikler

Cisim atıldıktan t s sonra yatayda ve düşeyde aldığı yollar bu doğrultudaki hareketlerin özelliğinden faydalanılarak bulunur.

Yatayda : x = v0. t
Düşeyde : bağıntılarından bulunur.

Cismin düşünceye kadar geçen sürede aldığı yolları, xmax ve h yi bulmak için uçuş süresi kullanılır.

Şekildeki grafik yatay atılan bir cismin, yatay ve düşey hızlarının zamanla değişimini göstermektedir.

Yatay ve düşey doğrultuda alınan yollar hız - zaman grafiğinden de bulunabilir. Yatay hızın altında kalan alan yatayda alınan yolu, düşey hız ile zaman ekseni arasındaki alan ise düşeyde alınan yolu verir.

Cisim atıldıktan t süre sonraki hızı, yatay ve düşey doğrultudaki hızların bileşkesinden bulunur.

Vx = Vox
Vy = g-t Buradan, cismin hızı pisagor bağıntısından,

olarak yazılır.

v hızı ile yatay doğrultuda uçan uçaktan uçağa göre serbest bırakılan bir bomba yere göre yatay atış hareketi yapar. Bomba uçağa göre serbest düşmeye bırakıldığından bombanın yere göre ilk hızı uçağın hızına eşittir.

Bomba atıldıktan sonra uçak hızını değiştirmiyorsa, yatay doğrultuda bombanın ve uçağın aldıkları yollar eşittir. Bu durumda bomba, pilota göre serbest düşme yapmaktadır.

Örnek

Sürtünmesi önemsiz ortamda h yüksekliğinde 20 m/s lik hızla yatay olarak atılan cisim yere 25 m/s lik hızla çarpıyor.

Buna göre,
I. Cisim yere 1,5 saniye sonra çarpmıştır.
II. h = 20 m dir.
III. Cismin 1 saniye sonraki hızı 30 m/s dir.
yargılarından hangileri doğrudur? (g = 10 m/s2)

A) Yalnız I B) Yalnız II C) Yalnız III D) I ve II E) II ve III

Çözüm

I. Yatay olarak atılan cismin yere düşme süresi h yüksekliğine bağlıdır. Cismin ilk hızı ve yere çarpma hızı verildiğine göre, yere çarptığı andaki düşey hızına vy denilirse, 20 m/s lik yatay hızla v hızının bileşkesi pisagor bağıntısından 25 m/s lik hızı verir.

Buradan,
202 + v2 = 252
v2 = 225 => vy = 15 m/s olur.

v = v0 + g. t bağıntısı cismin düşey hızı için kullanılırsa, t yere düşme süresi olmak şartıyla,
vy = 0 + g. t olur.

15 = 10.t => t = 1,5 saniye olur. (I doğru)

II. Cisim yere 1,5 saniyede düştüğüne göre, h = 1/2 . g . t2 bağıntısından,
h = 11,25 m olur. (II yanlış)

III. Cismin 1 saniye sonraki hızı yatay hızı ile o andaki düşey hızının vektörel toplamıdır. Cismin 1 saniye sonraki düşey hızına v'y denilirse,

Vy = g. t den
v'y = 10.1 =10 m/s olur.

Pisagor bağıntısından cismin 1 saniye sonraki hızı, 102 + 202 = v2
v2 = 500 => v = 10kok5 m/s dir. (III yanlış)
Cevap A

EĞİK ATIŞ

Yatayla a açısı yapacak şekilde v0 hızıyla atılan bir cismin yer çekimi kuvvetinin etkisiyle yaptığı eğrisel harekete eğik atış denir.

Başlangıç noktasındaki v0 hızının yatay ve düşey bileşenleri dik üçgenden bulunur. v0x = v0.cosa

V0y = v0. sin a dır.

Eğik atılan bir cismin vOx ve vOy gibi iki hız bileşeni olduğundan aynı anda iki hareketi birden yapar.

1. Cisme yatay doğrultuda bir kuvvet uygulanmadığından, cismin hızının yatay bileşeni yörüngenin her noktasında aynıdır. Dolayısıyla cisim yatayda, Vgj, = v0. cos a hızı ile düzgün doğrusal hareket yapar. Yatayla ilgili nicelikler bu düzgün doğrusal hareketin özelliğinden bulunur.

2. Cismin düşey hız bileşeni

olduğundan v0 hızı ile aşağıdan yukarıya doğru düşey olarak atılmış demektir. Hızın düşey bileşeni g ivmesi ile azalır, tepe noktasında bir an sıfır olur ve tekrar aynı ivme ile aşağı doğru hızlanarak iner.

Yani cisim, vOy hızı ile yukarı yönde düşey atış hareketi yapan cisim ile aynı özelliği gösterir.

Düşeyle ilgili hesaplamalar, aşağıdan yukarıya doğru düşey atışın özelliklerinden faydalanılarak bulunur.

Demek oluyor ki eğik atış, daha önce görülen bu iki hareketin bileşkesidir. Her iki hareket için de uçuş süreleri aynıdır.

Ayrıca eğik atışın tepe noktasından itibaren olan hareketi bir yatay atış hareketidir.

Önemli Notlar:
1. Cismin hareketinde bütün özellikler tepe noktasından geçen düşey çizgiye göre simetriktir. Tepe noktasına çıkış süresi iniş süresine eşittir. Herhangi bir yatay düzeyde, cismin çıkarken hızının büyüklüğü, aynı düzeydeki inerken hızının büyüklüğüne eşittir.

2. Cisim atıldıktan t süre sonra yatayda ve düşeydeki yer değiştirmeleri bulalım.
Yatay ve düşeydeki hareketlerin özelliklerinden faydalanılarak gerekli nicelikler bulunabilir. Cisim yatayda sabit hızlı hareket yaptığından, yataydaki yer değiştirme miktarı yatay atışta olduğu gibi,

bağıntısından bulunur.

Düşeydeki hareket aşağıdan yukarıya doğru düşey atış olduğundan, t sürede düşeyde alınan yol,

den bulunur.

t yerine tuçuş (uçuş süresi) kullanılırsa, x in maksimum değeri bulunur, h ise sıfır çıkar. Bu düşeydeki yer değiştirmenin sıfır olduğu yani atıldığı yatay düzleme düşmesi demektir.

Uçuş süresi kullanılmadan, v0 hızı ve a açısına bağlı olarak menzil uzaklığı,

bağıntısından bulunur.

Cisim tepe noktasından itibaren düşey doğrultuda serbest düşme hareketi yapar. Serbest düşmeden faydalanılarak da bazı nicelikler bulunabilir. Örneğin iniş ya da çıkış süresi,

yada

bağıntısından bulunur.

Maksimum yükselik ise,

bağıntısından bulunabilir.

Burada,

dır.

Aynı değerler hız - zaman grafiğinden de bulunabilir.

Cismin yataydaki yer değiştirmesi yatay hızın altında kalan alandan, düşeydeki yer değiştirme ise düşey hız grafiği ile zaman ekseni arasında kalan alandan bulunur.
Yatay ve düşey hızların başlangıç anındaki değerleri, atıldığı andaki v0 hızının yatayla yapmış olduğu a açısına göre değişir.

Cisim atıldıktan t süre sonra hızını bulalım. Hız da yatay ve düşeydeki hareketlerin özelliklerinden bulunur.

Yatay hız yörüngenin her noktasında sabit olduğundan, vOx = vx tir. Düşey hız ise, hız denkleminden bulunur. vy = vOy - gt

Pisagor bağıntısından, faydalanarak cisim atıldıktan t saniye sonraki hız bulunur.

v1 hızıyla gitmekte olan bir arabadan, arabaya göre v2 hızıyla düşey olarak yukarı atılan bir cismin, yere göre hareketi v1 ve v2 nin bileşkesi yönünde bir eğik atış hareketidir. Çünkü cismin yere göre hızı, arabanın hızı ile cismin arabaya göre hızının bileşkesine eşittir.

Cisim düşey olarak atıldıktan sonra arabanın hızı değişmiyorsa, cisim tekrar arabanın içine düşer. Cismin yatay doğrultuda aldığı yol yatay hızdan bulunur. Yatay hızda arabanın hızına eşittir.

Eğik Atışla İlgili Özel Durumlar

1. Atış açısı a = 45° olduğunda menzil maksimum olur. Yani cisim en uzak noktaya düşer.

2. Birbirini 90° ye tamamlayan açılarla ve eşit büyüklükte hızla eğik atılan cisimler aynı uzaklığa düşer.
a + b = 90° ise, x1 = x2 dir.

3. Cisim atıldığı hızın büyüklüğüne eşit hızla yere çarpar.

4. Eğer yer çekimi olmasaydı şekildeki gibi v0 hızıyla atılan cisim K den L ye sabit hızla giderdi. KL arasındaki herhangi bir noktadan serbest bırakılan bir cisimle, eğik atış hareketi yapan cisim eğik yörünge üzerinde çarpışır. Dolayısıyla aynı anda L den serbest bırakılan cisim ile eğik atılan cismin uçuş süreleri eşit ve aynı anda M ye düşerler.

Örnek

Sürtünmesi önemsiz ortamda yerden v0 hızı ile eğik olarak atılan cisim yerden 35 m yüksekte iken hızı 30 m/s dir.

Buna göre,
I. v0 = 40 m/s dir.
II. Cismin uçuş süresi 4 saniyedir.
III. Cismin maksimum yüksekliği 45 m dir.
yargılarından hangileri kesinlikle doğrudur? (g = 10 m/s2)

A) Yalnız I B) Yalnız II C) Yalnız III
D) I ve III E) II ve III

Çözüm
I. Eğik olarak atılan cismin herhangi bir h yüksekliğindeki hızı, zamansız hız bağıntısından bulunabilir, v2 = v2 - 2g. h bağıntısından
302 = v2 - 2.10.35
900 = v2 - 700
v2 = 1600
v0 = 40 m/s olur. (I kesin doğru)

II. Cismin uçuş süresi ilk hızının düşey bileşenine bağlıdır. İlk hızın yatayla ile yaptığı açı verilmediğinden cismin düşey hızı bulunamaz, dolayısıyla uçuş süresi de hesaplanamaz. (II kesin değil)

III. Cismin maksimum yüksekliği, hmax bağıntısı ile hesaplanır. II. yargıda izah edilgi gibi v0 bilinmediğinden hmax için birşey söylenemez. (III kesin değil)
Cevap A