KÜTLE MERKEZİ

Ağırlık; bir cisme etki eden yer çekimi kuvvetidir. Birimleri kuvvet birimleridir. Yönü düşey doğrultuda yerin merkezine doğrudur.

Büyüklüğü; G = m . g dir. G : Cismin ağırlığı m : Cismin kütlesi g : Yer çekimi ivmesidir.

Katı bir cisim, küçük madde parçacıklarından meydana gelir. Yerin çekim kuvvetinden dolayı bütün bu parçacıklara kuvvet etki eder. Bu kuvvetlerin tümü birbirine paralel ve yerin merkezine yöneliktir. Ağırlık merkezi, bu kuvvetlerin bileşkesinin uygulama noktasıdır. Ağırlık merkezinden asılan tüm cisimler dengede kalır. Aynı zamanda asıldığı ipin uzantısı da ağırlık merkezinden geçer.

Şekil -1 ve Şekil - II deki türdeş çubuk dengededir. Şekil -1 de ağırlık merkezinden asılmıştır. Şekil - II deki gibi asıldığında ise uzantısı ağırlık merkezinden geçecek şekilde dengelenmiştir. Bu şekilde, bir cismin ağırlık merkezinin yerinin bulunması için, cisim farklı noktalardan asılır, daha sonra düşey doğrultuların kesişme noktası tespit edilir. Bu nokta cismin ağırlık merkezini verir.

Düzgün ve Türdeş Olan Bazı Cisimlerin Ağırlık Merkezleri

1.   Türdeş ve düzgün çubuğun ağırlık merkezi orta noktasıdır.
2.   Türdeş çember, daire ve kürenin ağırlık merkezleri kendi merkezleridir.

3. Düzgün ve türdeş kare, dikdörtgen, paralel kenar ve eşkenar dörtgen şeklindeki levhaların ağırlık merkezleri, köşegenlerinin kesişim noktasıdır.

4. Düzgün ve türdeş üçgen şeklindeki levhanın ağırlık merkezi, kenar ortaylarının kesim noktasıdır. Bu nokta kenara bir birim, köşeye ise iki birim uzaklıktadır.

5.  Türdeş silindirin ağırlık merkezi, taban ve tavan merkezlerini birleştiren doğru parçasının tam orta noktasıdır.

Denge Durumları

1.   Düz bir zemin üzerinde duran bir cismin dengede kalabilmesi için ağırlık merkezinin düşey doğrultusunun taban alanından geçmesi gerekir. . Şekilde X ile Z cisimlerinin ağırlık kuvvetlerinin uzantısı taban alanından geçmediği için ok yönlerinde devrilirken, Y cisminin ağırlık kuvvetinin uzantısı değme yüzeyinden geçtiği için dengede kalır.

2. Aynı şekilde ağırlık merkezinden geçen düşey doğrultu ayak tabanımızın dışında kalırsa dengemizi kaybeder ve düşeriz. Ayaklarımızı duvara birleştirdikten sonra, eğilip ellerimizle ayağımıza dokunmak istesek bunu başaramayız.

3. İple tavana asılı cismin denge konumu bir miktar değiştirilir ve cisim serbest bırakılırsa, cisim yine eski konumuna döner. Çünkü ağırlık kuvvetinin ipin uzantısının bulunduğu eksene göre belirli bir momenti olur. Bu moment sıfır olana kadar cisim döner ve bir süre sonra dengeye gelir. Cisim dengeye geldiğinde ipin uzantısı ağırlık merkezinden geçer.

UYARI:
İki ya da daha çok geometrik yapılı türdeş cisimlerin ağırlık merkezi, paralel kuvvetlerin bileşkesinin uygulama noktasıdır.

Buna göre:
1.   Cisim, ağırlık merkezleri bulunabilen geometrik parçalara ayrılır.
2.   Her bir parçanın ağırlık merkezi gösterilir.
3.   Ağırlık kuvvetleri, düzgün ve türdeş, çubuk için uzunluk, levha için yüzey alanları, küre ve silindirler için hacimler arasındaki oran olarak karşılaştırılır.
4.   Bu paralel kuvvetler arasındaki uzaklıklar hesaplanarak bileşkenin uygulama noktası bulunur. Bu bileşke kuvvet, düzeneğin ağırlığını; uygulama noktası ise ağırlık merkezini verir.
5.   Öz kütleleri farklı cisimler verildiğinde, cismin ağırlık kuvveti, kütleleri ile orantılı olarak değişir.
Kütle ise m = V. d bağıntısına göre hacim ile öz kütlenin çarpımıyla doğru orantılıdır.

Örnek

Düzgün ve türdeş levhadan kesilen parçalar şekildeki gibi birbirlerine perçinlenmiştir.
Oluşturulan bu levha düzeneğinin kütle merkezi nerededir? (Bölmeler eşit aralıklıdır.)

A)  K - L arasında                   B)  L noktasında
C) L - M arasında                  D) M noktasında
E) M - N arasında

Çözüm

Şekilde bütün olan dairesel levhanın ağırlık kuvveti P kadar olsun. Bu durumda birbirine teğet yarım levhaların birlikte ağırlık
kuvveti N de ve P kadar olur. Yarım levhanınki ise P/2 kadar olur.
Bu paralel kuvvetlerin bileşkesinin uygulama noktası düzeneğin kütle merkezidir. Bu kuvvetlerin bileşkesinin uygulama noktası ise L - M arasında olur.
Cevap C

Örnek

Eşit boy ve kalınlıktaki düzgün, türdeş X ve türdeş Y cisimleri ya-
pıştırılarak şekildeki çubuk oluşturuluyor.
X ler 2P, Y ler de P ağırlığında olduğuna göre, çubuğun yatay olarak dengede kalabilmesi için nereden aşılmalıdır?

A)   K - L arasından ve K ye yakın bir yerden
B)   K - L arasından ve L ye yakın bir yerden
C)   Lden
D)   L - M arasından ve L ye yakın bir yerden
E)   L - M arasından ve M ye yakın bir yerden

Çözüm

Düzgün ve türdeş çubukların ağırlık kuvvetleri tam orta noktalarından gösterilir. Ağırlık kuvvetlerinin bileşkesinin uygulama noktası cismin kütle merkezidir.

2P ağırlığındaki iki kuvvetin bileşkesi KL nin orta noktası olan O da olur. 5P ve P ağırlığındaki iki kuvvetin bileşkesi ise, OL arasındadır.
Çubuğun yatay olarak
dengede kalabilmesi için kütle merkezinin olduğu yerden aşılmalıdır. Ya da ipin uzantısı kütle merkezinden geçmelidir. Buna göre, çubuk K - L arasından ve L ye yakın bir yerden aşılmalıdır.
Cevap B

Örnek

Eşit bölmelerle ayrılmış, düzgün ve türdeş bir levha iple asılarak şekildeki gibi dengelenmiştir.
Buna göre,

1. L ile R
2. Tile P
3. S ile N

parçalarından hangileri kesilip atılırsa, levhanın konumunda bir değişiklik olmaz?
A) Yalnız I                 B) Yalnız II                 C) I ya da II
D) I ya da III                  E) II ya da III

Çözüm
Levhadan parçalar çıkarılıp atıldığında dengenin bozulmaması için, geride kalan şeklin kütle merkezinin ipin uzantısı üzerinde olması gerekir. Yani çıkan parçaların ipin geçtiği eksene göre momentleri eşit ve zıt yönlü olmalıdır.
I. L ile R parçaları çıkarılırsa, geride kalan şeklin kütle merkezi yine O noktası olur. Ayrıca bu iki parçanın ipin olduğu eksene göre momentleri de eşittir ve denge bozulmaz. (I de değişmez.)
II. T ile P parçaları çıkarılırsa, geride kalan cismin kütle merkezi ipin uzantısı üzerinde olmaz ve denge bozulur. Ayrıca T ve P parçalarının ipin uzantısının geçtiği eksene göre momentleri eşit değildir. (II de değişir.)
III. S ile N parçaları çıkarılırsa, geride kalan şeklin kütle merkezi ipin uzantısı üzerinde olur ve denge bozulmaz. Ayrıca S ve N parçalarının ipin uzantısının geçtiği eksene göre momentleri eşittir. (III te değişmez.)
Cevap D

Örnek

Eşit bölmeli, düzgün türdeş kare levhanın taralı bölümlerine aynı levhadan kesilmiş birer tane küçük kare levha yapıştırılmıştır.

Levhanın kütle merkezinin O noktasında olabilmesi İçin P, K, L, M, N bölgelerinden
hangisine aynı kare levhalardan yapıştırılmalıdır?
A) P            B) K             C) L             D) N             E) M

Çözüm
Parça yapıştırılmadan önce kütle merkezi O noktası olan levhaya, parça yapıştırıldıktan sonra da kütle merkezinin değişmemesi için, yapıştırılan parçaların da kütle merkezi O noktasında olmalıdır.
Yapıştırılan üç parça ile birlikte hangi bölgeye parça yapıştırılacağı denenerek de bulunabilir. Eğer N bölgesine dördüncü bir parça yapıştırılırsa, bu dört parçanın kütle merkezi O noktasında olur.
Cevap D

Örnek
Düzgün, türdeş ve özdeş eşkenar üçgen levhaların birbirine yapıştırılmasıyla oluşturulan cisimler İple asıldığında, aşağıdakllerden hangisi gibi dengede kalabilir?

Çözüm
iple asılan cisimlerin dengede kalabilmesi için, levha parçalarının kütle merkezi ipin uzantısı üzerinde olmalıdır. Ya da ipin uzantısının geçtiği eksenin sağında ve solundaki parçaların ağır kuvvetlerinin bu eksene göre momentlerinin büyüklükleri eşit olmalıdır. Bu ise yalnızca E şıkkında sağlanmıştır.
Cevap E

Örnek

Düzgün, türdeş bir tel bükülerek belli bir noktasından asıldığında, düşey düzlemde şekildeki gibi dengede kalıyor.
Buna göre, tel nereden asılmıştır?
A)   K - L nin ortasından
B)   Lden
C)   L - M nin ortasından
D)   M den
E)   M - N nin ortasından
Çözüm

Türdeş çubukların uzunlukları arasındaki oran kütleleri arasındaki orana eşittir.
Şeklin üst kısmındaki iki parçanın kütle merkezi O, noktasındadır. Aşağıdaki iki parçanın kütle merkezi ise O2 noktasındadır. Tüm cismin kütle merkezi ise O, ve O2 noktalarını birleştiren doğrunun tam orta noktası olan S noktasındadır. Bükülmüş bu telin şekildeki gibi dengede kalabilmesi için ipin uzantısının S noktasından geçmesi gerekir. Dolayısıyla tel L - M nin ortasından asılmalıdır.
Cevap C

Örnek

Eşit bölmeli ve eşit kalınlıktaki X, Y, Z levhaları birbirine yapıştırılarak iple asıldığında şekildeki konumda dengede kalıyor.
Türdeş X levhasının ağırlığı yine türdeş Y levhasının ağırlığına eşit olduğuna göre,
I.  Z levhası türdeş değildir.
II.  Z levhasının ağırlığı X inkinden büyüktür.
III. Y ve Z levhalarının ağırlıkları eşittir.
yargılarından hangileri kesinlikle doğrudur?

A) Yalnız I                   B) Yalnız III                   C) I ve II
D) I ve III                  E) II ve III

Çözüm

Türdeş levhaların ağırlık kuvveti orta noktalarından yani ağırlık merkezinden gösterilir.
I. Px = PY olduğuna göre, dengenin şekildeki gibi olabilmesi için, Z cisminin ağırlık kuvveti tam orta noktada olamaz. Çünkü Px ve PY nin ipin uzantısına göre momentleri eşit değildir. Dolayısıyla Z levhası türdeş değildir. (I doğru)
II. Düzeneğin dengede kalabilmesi için
 (Px = PY olduğundan)

d uzaklığı bilinmediği için Z ve X levhalarının ağırlığı için kesin bir şey söylenemez. (II kesin değil)
III. Pz ağırlık kuvvetinin ipin uzantısına olan d uzaklığı bilinmediği için Z ve Y levhalarının ağırlığı için de kesin bir şey söylenemez. (III kesin değil)
Cevap A

Örnek

Şekildeki levha, farklı metallerden yapılmış dikdörtgen biçimli, ince, düzgün ve türdeş K, L, M, N parçalarından oluşmuştur. Bu levhanın kütle merkezi O noktasıdır.
K, L, M, N parçalarının kütleleri sırasıyla mK, mL, mM, mN olduğuna göre,
I. mK = mL
II. mM = mN
III. mK + mL = mM + mN
eşitliklerinden hangileri kesinlikle doğrudur?
A) Yalnız I                   B) Yalnız II                   C) I ve II
D) I ve III                E) II ve III
(2005 - ÖSS)

Çözüm

Dikdörtgen şeklindeki levhaların kütle merkezi kenarortayların kesim noktasıdır.
Kütle merkezi O noktası olduğuna göre, K ile L levhalarının ortak kütle merkezi O1 noktasında olmalıdır.
I. K ile L levhalarının kütle merkezinin O1 noktasına uzaklığı eşit olduğundan mK = mL dir. (I kesin doğru)
II. Verilen şekilden M ile N levhalarının kütlelerinin eşit olduğu söylenemez. (II kesin değildir.)
III. Kütle merkezi O noktası olduğundan, M ile N levhalarının kütlelerinin O noktasına göre momentleri toplamı, K ve L levhalarının kütlelerinin O noktasına göre momentleri toplamına eşit demektir.

Buradan, (mK + mL). a = mM. a/2  + mN. 3a/4
2(mK + mL) = mM + 3mN   olur.
Buradan,  mK + mL = mM + mN eşitliği söylenemez. (III yanlış)
Cevap A

Örnek

Kütleleri mx, mY, mz olan X, Y, Z cisimleri şekildeki konumlarda iken ortak kütle merkezi O noktasında oluyor.
X cismi Y nln yerine, Z cismi X in yerine ve Y cismi de Z nln yerine konulduğunda ortak kütle merkezinin yeri değişmediğine göre, cisimlerin kütleleri arasındaki ilişki nedir?

A) mx < mY < m2                     B) mz < mY < mx
C) mY < mz < mx                     D) mz < mx < mY
E)   mx < mz < mY 

Çözüm

X, Y Z cisimlerinin kütle merkezi O noktası ise, mx. 2d = mY. d + mz. 2d eşitliği yazılır.

Buradan, mz < mx tir.

Cisimler şekildeki gibi yer değiştirdiğinde kütle merkezi yine O noktası olduğuna göre,
mz . 2d = mx. d + mY . 2d

Buradan, mY < mz dir.
Buna göre, cisimlerin kütleleri arasında mY < mz < mx
ilişkisi vardır.
Cevap C